実数 $a, b$ について、以下の条件の否定を求めます。 (1) $a$ は無理数である。 (2) $a \geq 0$ かつ $b \geq 0$ (3) $a = 2$ または $b = 2$ (4) $a, b$ はともに正の数である。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ について、以下の条件の否定を求めます。

(1) $a$ は無理数である。

(2) $a \geq 0$ かつ $b \geq 0$

(3) $a = 2$ または $b = 2$

(4) $a, b$ はともに正の数である。

2. 解き方の手順

(1) 「$a$ は無理数である」の否定は、$a$ が無理数でないこと、つまり「$a$ は有理数である」となります。

(2) 「$a \geq 0$ かつ $b \geq 0$」の否定は、「$a \geq 0$」の否定である「$a < 0$」と、「$b \geq 0$」の否定である「$b < 0$」を「または」で結びつけたもの、つまり「$a < 0$ または $b < 0$」となります。

(3) 「$a = 2$ または $b = 2$」の否定は、「$a = 2$」の否定である「$a \neq 2$」と、「$b = 2$」の否定である「$b \neq 2$」を「かつ」で結びつけたもの、つまり「$a \neq 2$ かつ $b \neq 2$」となります。

(4) 「$a, b$ はともに正の数である」の否定は、「$a > 0$ かつ $b > 0$」の否定と同じです。「$a > 0$」の否定である「$a \leq 0$」と、「$b > 0$」の否定である「$b \leq 0$」を「または」で結びつけたもの、つまり「$a \leq 0$ または $b \leq 0$」となります。これは「少なくとも一方は 0 以下である」という意味になります。

3. 最終的な答え

(1) $a$ は有理数である。

(2) $a < 0$ または $b < 0$

(3) $a \neq 2$ かつ $b \neq 2$

(4) $a \leq 0$ または $b \leq 0$