行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & 7 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 6 \end{bmatrix}$ の行列式 $|A|$ を、余因子展開を用いて求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & 7 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 6 \end{bmatrix}$ の行列式 $|A|$ を、余因子展開を用いて求める。

2. 解き方の手順

ここでは、1行目で余因子展開を行う。

$|A| = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 2 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$ は (i,j) 成分の余因子である。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 5 & 7 & 2 \\ 3 & 1 & 6 \end{vmatrix} = 2(42-2) - 1(30-6) + 4(5-21) = 80 - 24 - 64 = -8$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 1 & 7 & 2 \\ 2 & 1 & 6 \end{vmatrix} = -[4(42-2) - 1(6-4) + 4(1-14)] = -[160 - 2 - 52] = -106$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -[4(5-21) - 2(1-14) + 1(3-10)] = -[-64 + 26 - 7] = -[-45] = 45$

したがって、

$|A| = 1 \cdot (-8) + 2 \cdot (-106) + 0 \cdot C_{13} + 2 \cdot 45 = -8 - 212 + 90 = -130$

3. 最終的な答え

$|A| = -130$