$V$ が有限次元ベクトル空間であり、$W$ が $V$ の部分空間であるとき、次の2つの命題を示す問題です。 (1) $\dim(W) \leq \dim(V)$ (2) $\dim(W) = \dim(V)$ ならば $W = V$

1. 問題の内容

$V$ が有限次元ベクトル空間であり、$W$ が $V$ の部分空間であるとき、次の2つの命題を示す問題です。

(1) $\dim(W) \leq \dim(V)$

(2) $\dim(W) = \dim(V)$ ならば $W = V$

2. 解き方の手順

(1) $\dim(W) \leq \dim(V)$ の証明：

$W$ は $V$ の部分空間なので、$W$ の基底 $\{w_1, w_2, \dots, w_n\}$ を取ることができます。 ここで、$n = \dim(W)$ です。

この基底は $V$ の線形独立なベクトル集合でもあります。

$V$ は有限次元なので、$V$ の基底のベクトルの個数は有限です。

線形独立なベクトル集合 $\{w_1, w_2, \dots, w_n\}$ にベクトルを追加して $V$ の基底 $\{w_1, w_2, \dots, w_n, v_{n+1}, \dots, v_m\}$ を構成できます。 ここで、$m = \dim(V)$ です。

したがって、$n \leq m$、つまり $\dim(W) \leq \dim(V)$ が成り立ちます。

(2) $\dim(W) = \dim(V)$ ならば $W = V$ の証明：

$\dim(W) = \dim(V) = n$ とします。

$W$ の基底 $\{w_1, w_2, \dots, w_n\}$ を取ります。

この基底は $V$ の線形独立なベクトル集合でもあります。

もし、$W \neq V$ であると仮定すると、$V$ のベクトル $v \notin W$ が存在します。

このとき、$W$ の基底 $\{w_1, w_2, \dots, w_n\}$ に $v$ を追加した集合 $\{w_1, w_2, \dots, w_n, v\}$ は線形独立です。

しかし、この集合は $V$ の $n+1$ 個の線形独立なベクトルを含んでおり、$V$ の次元は $n$ であるという事実に矛盾します。

したがって、$W = V$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\dim(W) \leq \dim(V)$

(2) $\dim(W) = \dim(V)$ ならば $W = V$