与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) $x = -2$ で最小値 $-1$ をとり、$x = -1$ のとき $y = 3$ である2次関数を求めます。 (2) $x = 0$ で最大となり、$x = 3$ のとき $y = 2$, $x = 1$ のとき $y = 6$ である2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) $x = -2$ で最小値 $-1$ をとり、$x = -1$ のとき $y = 3$ である2次関数を求めます。

(2) $x = 0$ で最大となり、$x = 3$ のとき $y = 2$, $x = 1$ のとき $y = 6$ である2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x = -2$ で最小値 $-1$ をとることから、2次関数は $y = a(x + 2)^2 - 1$ (ただし、$a > 0$) と表せます。

$x = -1$ のとき $y = 3$ であることから、この式に代入して $a$ を求めます。

$3 = a(-1 + 2)^2 - 1$

$3 = a(1)^2 - 1$

$3 = a - 1$

$a = 4$

したがって、求める2次関数は $y = 4(x + 2)^2 - 1 = 4(x^2 + 4x + 4) - 1 = 4x^2 + 16x + 16 - 1 = 4x^2 + 16x + 15$ となります。

(2) $x = 0$ で最大値をとることから、2次関数は $y = a(x - 0)^2 + q = ax^2 + q$ (ただし、$a < 0$) と表せます。

$x = 3$ のとき $y = 2$ であることから、$2 = a(3)^2 + q = 9a + q$ となります。

$x = 1$ のとき $y = 6$ であることから、$6 = a(1)^2 + q = a + q$ となります。

この連立方程式を解いて $a$ と $q$ を求めます。

$9a + q = 2$

$a + q = 6$

上の式から下の式を引くと、$8a = -4$ より $a = -\frac{1}{2}$ となります。

$q = 6 - a = 6 - (-\frac{1}{2}) = \frac{13}{2}$ となります。

したがって、求める2次関数は $y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{13}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x^2 + 16x + 15$

(2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{13}{2}$