与えられた2つの三角関数の方程式または不等式を解き、$\theta$の値を求める問題です。 (5) $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ (6) $\tan(2\theta + \frac{\pi}{3}) \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの三角関数の方程式または不等式を解き、$\theta$の値を求める問題です。

(5) $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

(6) $\tan(2\theta + \frac{\pi}{3}) \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(5) $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ を解く。

$\cos x = \frac{1}{2}$ となる $x$ の値は $x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $x = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$ （$n$ は整数）です。

したがって、

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $2\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$

それぞれについて $\theta$ を解くと、

$2\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ または $2\theta = 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$ または $\theta = n\pi$

(6) $\tan(2\theta + \frac{\pi}{3}) \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$ を解く。

$\tan x \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $x$ の範囲を考えます。

$-\frac{\pi}{6} + n\pi \le x < \frac{\pi}{2} + n\pi$ （$n$ は整数）

したがって、

$-\frac{\pi}{6} + n\pi \le 2\theta + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + n\pi$

$-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + n\pi \le 2\theta < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + n\pi$

$-\frac{\pi}{2} + n\pi \le 2\theta < \frac{\pi}{6} + n\pi$

$-\frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} \le \theta < \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(5) $\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$ または $\theta = n\pi$ ($n$ は整数)

(6) $-\frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} \le \theta < \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}$ ($n$ は整数)