関数 $y = \log_3 x$ において、$x$ の範囲が $\frac{1}{3} < x \le 3\sqrt{3}$ であるとき、$y$ の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_3 x$ において、$x$ の範囲が $\frac{1}{3} < x \le 3\sqrt{3}$ であるとき、$y$ の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の範囲のそれぞれの端点について、$y$ の値を計算します。

* $x = \frac{1}{3}$ のとき

$y = \log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$

* $x = 3\sqrt{3}$ のとき

$3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$y = \log_3 3\sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

$\log_3 x$ は底が3で1より大きいので、単調増加関数です。したがって、$x$ が増加すると、$y$ も増加します。

$x$ の範囲は $\frac{1}{3} < x \le 3\sqrt{3}$ なので、$y$ の範囲は $-1 < y \le \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < y \le \frac{3}{2}$