$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin 2\theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$ を解け。

解析学三角関数方程式解の公式2倍角の公式
2025/6/22

1. 問題の内容

0θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、方程式 sin2θ+3cosθ=0\sin 2\theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0 を解け。

2. 解き方の手順

まず、2倍角の公式 sin2θ=2sinθcosθ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta を用いて、方程式を変形します。
sin2θ+3cosθ=0\sin 2\theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0
2sinθcosθ+3cosθ=02 \sin \theta \cos \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0
cosθ\cos \theta でくくります。
cosθ(2sinθ+3)=0\cos \theta (2 \sin \theta + \sqrt{3}) = 0
したがって、cosθ=0\cos \theta = 0 または 2sinθ+3=02 \sin \theta + \sqrt{3} = 0 となります。
(i) cosθ=0\cos \theta = 0 のとき、
0θ<2π0 \le \theta < 2\pi なので、θ=π2,3π2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}
(ii) 2sinθ+3=02 \sin \theta + \sqrt{3} = 0 のとき、
sinθ=32\sin \theta = - \frac{\sqrt{3}}{2}
0θ<2π0 \le \theta < 2\pi なので、θ=4π3,5π3\theta = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}

3. 最終的な答え

θ=π2,3π2,4π3,5π3\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}

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