$(\frac{1}{5})^{10}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$とします。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{5})^{10}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$とします。

2. 解き方の手順

まず、$(\frac{1}{5})^{10}$の常用対数を計算します。

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\log_{10}\left(\frac{1}{5}\right)^{10} = 10\log_{10}\left(\frac{1}{5}\right) = 10\log_{10}(5^{-1}) = -10\log_{10}5

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$\log_{10}5$を$\log_{10}2$で表します。$\log_{10}10 = 1$なので、$\log_{10}5 = \log_{10}\frac{10}{2} = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - \log_{10}2$となります。したがって、

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\log_{10}5 = 1 - \log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990

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これを先ほどの式に代入します。

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-10\log_{10}5 = -10(0.6990) = -6.990

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したがって、$\log_{10}\left(\frac{1}{5}\right)^{10} = -6.990$です。

ここで、この値は$-7 < -6.990 < -6$を満たすので、$\left(\frac{1}{5}\right)^{10} = 10^{-6.990} = 10^{-7+0.01} = 10^{-7} \times 10^{0.01}$となります。 $10^{-7}$は小数第7位に初めて0でない数字が現れることを意味します。 $10^{0.01}$は1よりわずかに大きい数なので、小数第7位に0でない数が現れることになります。

3. 最終的な答え

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