$20^{20}$ は何桁の数か。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

$20^{20}$ は何桁の数か。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

$20^{20}$ の桁数を求めるために、常用対数 $log_{10}20^{20}$ を計算します。

まず、対数の性質を利用して式を簡単にします。

$log_{10}20^{20} = 20 \times log_{10}20$

次に、$log_{10}20$ を $log_{10}2$ を用いて表します。

$log_{10}20 = log_{10}(2 \times 10) = log_{10}2 + log_{10}10$

$log_{10}10 = 1$ なので、

$log_{10}20 = log_{10}2 + 1$

与えられた $log_{10}2 = 0.3010$ を代入すると、

$log_{10}20 = 0.3010 + 1 = 1.3010$

したがって、

$log_{10}20^{20} = 20 \times 1.3010 = 26.02$

$20^{20}$ の桁数は、$\log_{10}20^{20}$ の整数部分に1を加えたものです。

$\log_{10}20^{20}$ の整数部分は26なので、

$20^{20}$ の桁数は $26 + 1 = 27$ です。

3. 最終的な答え

27桁