次の4つの二次関数の指定された定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($0 \le x \le 3$) (2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($1 \le x \le 4$) (3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$) (4) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 \le x \le 7$)

1. 問題の内容

次の4つの二次関数の指定された定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($0 \le x \le 3$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($1 \le x \le 4$)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)

(4) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 \le x \le 7$)

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。そして、定義域における関数の増減を調べ、最大値と最小値を決定します。

(1) $y = x^2 - 2x + 3$

$y = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

頂点は $(1, 2)$。定義域は $0 \le x \le 3$。

$x=1$ のとき、最小値 $2$。

$x=3$ のとき、最大値 $y = (3-1)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$。

$x=0$ のとき、$y = (0-1)^2 + 2 = 1+2=3$。

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$

$y = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x - 2)^2 + 4 - 3 = -(x - 2)^2 + 1$

頂点は $(2, 1)$。定義域は $1 \le x \le 4$。

$x=2$ のとき、最大値 $1$。

$x=4$ のとき、最小値 $y = -(4-2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$。

$x=1$ のとき、$y=-(1-2)^2 + 1 = -1 + 1 =0$。

したがって、$x=4$で最小値-3

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$

$y = 3(x^2 + 2x) - 1 = 3(x + 1)^2 - 3 - 1 = 3(x + 1)^2 - 4$

頂点は $(-1, -4)$。定義域は $1 \le x \le 3$。

$x=1$ のとき、最小値 $y = 3(1 + 1)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$。

$x=3$ のとき、最大値 $y = 3(3 + 1)^2 - 4 = 3(16) - 4 = 48 - 4 = 44$。

(4) $y = -2x^2 + 14x$

$y = -2(x^2 - 7x) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + 2(\frac{49}{4}) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2}$

頂点は $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$。定義域は $0 \le x \le 7$。

$x = \frac{7}{2}$ のとき、最大値 $\frac{49}{2} = 24.5$。

$x = 0$ のとき、最小値 $y = -2(0)^2 + 14(0) = 0$。

$x = 7$ のとき、最小値 $y = -2(7)^2 + 14(7) = -98 + 98 = 0$。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：6 ($x=3$のとき), 最小値：2 ($x=1$のとき)

(2) 最大値：1 ($x=2$のとき), 最小値：-3 ($x=4$のとき)

(3) 最大値：44 ($x=3$のとき), 最小値：8 ($x=1$のとき)

(4) 最大値：$\frac{49}{2}$ ($x=\frac{7}{2}$のとき), 最小値：0 ($x=0,7$のとき)