次の2つの関数について、グラフを描き、極値、変曲点をそれぞれ求め、さらに $\lim_{x \to \infty} y$ を求める問題です。 (i) $y = \tanh x$ (ii) $y = e^{-x^2}$

1. 問題の内容

次の2つの関数について、グラフを描き、極値、変曲点をそれぞれ求め、さらに $\lim_{x \to \infty} y$ を求める問題です。

(i) $y = \tanh x$

(ii) $y = e^{-x^2}$

2. 解き方の手順

(i) $y = \tanh x$ の場合

まず、$\tanh x$ の定義から

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$

1階微分を計算します。

$y' = \frac{d}{dx} \tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。$1 - \tanh^2 x = 0$ より $\tanh x = \pm 1$ となります。

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = 1$, $\lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1$ なので、極値は存在しません。

2階微分を計算します。

$y'' = \frac{d^2}{dx^2} \tanh x = -2 \tanh x (1 - \tanh^2 x) = -2 \tanh x \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = -2 \tanh x (y') = -2\frac{\sinh x}{\cosh^3 x}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。$-2 \tanh x (1 - \tanh^2 x) = 0$ より $\tanh x = 0$ となります。したがって、$x = 0$ です。

$x < 0$ のとき $y'' > 0$ であり、$x > 0$ のとき $y'' < 0$ であるため、$x = 0$ は変曲点であり、変曲点の座標は $(0, 0)$ です。

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = 1$

(ii) $y = e^{-x^2}$ の場合

1階微分を計算します。

$y' = \frac{d}{dx} e^{-x^2} = -2x e^{-x^2}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。$-2x e^{-x^2} = 0$ より $x = 0$ です。

$x < 0$ のとき $y' > 0$ であり、$x > 0$ のとき $y' < 0$ であるため、$x = 0$ は極大値を与える点であり、極大値は $y(0) = e^{-0^2} = 1$ です。極小値は存在しません。

2階微分を計算します。

$y'' = \frac{d^2}{dx^2} e^{-x^2} = \frac{d}{dx} (-2x e^{-x^2}) = -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = (4x^2 - 2) e^{-x^2}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。$(4x^2 - 2) e^{-x^2} = 0$ より $4x^2 - 2 = 0$ となります。

したがって、$x^2 = \frac{1}{2}$ より $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

$x < -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y'' > 0$、$-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y'' < 0$、$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y'' > 0$ であるため、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ は変曲点であり、変曲点の座標は $(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, e^{-1/2}) = (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}})$ です。

$\lim_{x \to \infty} e^{-x^2} = 0$

3. 最終的な答え

(i) $y = \tanh x$

極値：なし

変曲点：$(0, 0)$

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = 1$

(ii) $y = e^{-x^2}$

極値：極大値 $1$ (at $x=0$)、極小値なし

変曲点：$(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}})$

$\lim_{x \to \infty} e^{-x^2} = 0$