次の関数のグラフを描き、極値と変曲点を求め、さらに $x \to \pm \infty$ のときの極限値を求めます。 (i) $y = \tanh x$ (ii) $y = e^{-x^2}$

1. 問題の内容

次の関数のグラフを描き、極値と変曲点を求め、さらに $x \to \pm \infty$ のときの極限値を求めます。

(i) $y = \tanh x$

(ii) $y = e^{-x^2}$

2. 解き方の手順

(i) $y = \tanh x$ について

* 定義： $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$

* 導関数：

$y' = \frac{d}{dx} \tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$

$y'' = \frac{d^2}{dx^2} \tanh x = -2 \tanh x \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = -2 \tanh x (1-\tanh^2 x)$

* 極値：$y' = 0$ となる $x$ を探します。$1 - \tanh^2 x = 0$ より、$\tanh x = \pm 1$となりますが、$\tanh x$ は常に $-1 < \tanh x < 1$ の範囲にあるため、$y' = 0$ となる $x$ は存在しません。したがって、極値はありません。

* 変曲点：$y'' = 0$ となる $x$ を探します。$-2 \tanh x (1 - \tanh^2 x) = 0$ より、$\tanh x = 0$ または $\tanh^2 x = 1$ です。$\tanh x = 0$ のとき、$x = 0$ となり、$y = \tanh 0 = 0$ です。$\tanh^2 x = 1$ より、$\tanh x = \pm 1$となりますが、$\tanh x$ は常に $-1 < \tanh x < 1$ の範囲にあるため、解なしです。したがって、$x = 0$ が変曲点の候補です。

$x < 0$ のとき、$\tanh x < 0$ であり、$y'' > 0$、つまり下に凸です。

$x > 0$ のとき、$\tanh x > 0$ であり、$y'' < 0$、つまり上に凸です。

したがって、$x = 0$ で変曲します。変曲点は $(0, 0)$ です。

* 極限：

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} = 1$

$\lim_{x \to -\infty} \tanh x = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = -1$

(ii) $y = e^{-x^2}$ について

* 導関数：

$y' = \frac{d}{dx} e^{-x^2} = -2x e^{-x^2}$

$y'' = \frac{d^2}{dx^2} e^{-x^2} = \frac{d}{dx} (-2x e^{-x^2}) = -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = (4x^2 - 2) e^{-x^2}$

* 極値：$y' = 0$ となる $x$ を探します。$-2x e^{-x^2} = 0$ より、$x = 0$ です。$x = 0$ のとき、$y = e^{-0^2} = 1$ です。

$x < 0$ のとき、$y' > 0$ であり、$x > 0$ のとき、$y' < 0$ です。したがって、$x = 0$ で極大値 1 をとります。極小値はありません。

* 変曲点：$y'' = 0$ となる $x$ を探します。$(4x^2 - 2) e^{-x^2} = 0$ より、$4x^2 - 2 = 0$ です（$e^{-x^2}$ は常に正なので）。したがって、$x^2 = \frac{1}{2}$ となり、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$y = e^{-(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})^2} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ です。

したがって、変曲点は $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$ と $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$ です。

* 極限：

$\lim_{x \to \infty} e^{-x^2} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0$

3. 最終的な答え

(i) $y = \tanh x$

* 極値：なし

* 変曲点：$(0, 0)$

* $\lim_{x \to \infty} \tanh x = 1$

* $\lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1$

(ii) $y = e^{-x^2}$

* 極値：極大値 $(0, 1)$、極小値なし

* 変曲点：$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$

* $\lim_{x \to \infty} e^{-x^2} = 0$

* $\lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0$