与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は、 $ -\frac{1}{2} \frac{dz}{dx} + \frac{1}{x} z = x \cos x $ と表されます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は、

$-\frac{1}{2} \frac{dz}{dx} + \frac{1}{x} z = x \cos x$

と表されます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を整理します。

$-\frac{1}{2} \frac{dz}{dx} + \frac{1}{x} z = x \cos x$

両辺に-2を掛けて、

$\frac{dz}{dx} - \frac{2}{x} z = -2x \cos x$

これは、1階線形微分方程式の形 $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ をしています。

ここで、$P(x) = -\frac{2}{x}$ と $Q(x) = -2x \cos x$ です。

積分因子 $\mu(x)$ を求めます。

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln|x|} = e^{\ln(x^{-2})} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

積分因子 $\mu(x) = \frac{1}{x^2}$ を微分方程式の両辺に掛けます。

$\frac{1}{x^2} \frac{dz}{dx} - \frac{2}{x^3} z = -\frac{2}{x} \cos x$

左辺は $\frac{d}{dx} (\frac{1}{x^2} z)$ と変形できます。

$\frac{d}{dx} (\frac{z}{x^2}) = -\frac{2}{x} \cos x$

両辺をxで積分します。

$\int \frac{d}{dx} (\frac{z}{x^2}) dx = \int -\frac{2}{x} \cos x dx$

$\frac{z}{x^2} = -2 \int \frac{\cos x}{x} dx$

したがって、$z$ は

$z = -2x^2 \int \frac{\cos x}{x} dx$

積分 $\int \frac{\cos x}{x} dx$ は初等関数では表せません。

この積分を $\mathrm{Ci}(x)$ （余弦積分）で表すと、

$z = -2x^2 \mathrm{Ci}(x) + C x^2$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$z = -2x^2 \mathrm{Ci}(x) + Cx^2$

（ただし、$\mathrm{Ci}(x)$は余弦積分、Cは積分定数）

あるいは、

$z = x^2 (C - 2 \mathrm{Ci}(x))$