与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は次の通りです。 $ -\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} + \frac{1}{x} = x \cos x $

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は次の通りです。

$-\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} + \frac{1}{x} = x \cos x$

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を整理します。

$-\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} = x \cos x - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} = \frac{1}{x} - x \cos x$

$\frac{dz}{z} = (\frac{1}{x} - x \cos x) dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dz}{z} = \int (\frac{1}{x} - x \cos x) dx$

$\ln |z| = \int \frac{1}{x} dx - \int x \cos x dx$

右辺の積分を計算します。まず、$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_1$ です。

次に、$\int x \cos x dx$ を部分積分で計算します。

$u = x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ です。

したがって、

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C_2$

よって、

$\ln |z| = \ln |x| - (x \sin x + \cos x) + C$

$\ln |z| = \ln |x| - x \sin x - \cos x + C$

両辺を指数関数で処理します。

$|z| = e^{\ln |x| - x \sin x - \cos x + C} = e^{\ln |x|} e^{-x \sin x - \cos x} e^C$

$|z| = |x| e^{-x \sin x - \cos x} e^C$

$z = \pm x e^{-x \sin x - \cos x} e^C$

定数 $\pm e^C$ を $A$ で置き換えます。

$z = A x e^{-x \sin x - \cos x}$

$z = A x e^{-(x \sin x + \cos x)}$

3. 最終的な答え

$z = A x e^{-(x \sin x + \cos x)}$

ここで、$A$ は積分定数です。