与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は次の通りです。 $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は次の通りです。

$\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x$

2. 解き方の手順

この微分方程式は、1階線形微分方程式の形をしています。一般形は $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ です。

この問題では、$P(x) = -2x$、$Q(x) = 2x$ です。

まず、積分因子 $\mu(x)$ を求めます。積分因子は以下の式で与えられます。

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$

$P(x) = -2x$ なので、

$\int P(x) dx = \int -2x dx = -x^2$

よって、積分因子 $\mu(x)$ は、

$\mu(x) = e^{-x^2}$

次に、微分方程式の両辺に積分因子をかけます。

$e^{-x^2}\frac{dy}{dx} - 2xe^{-x^2}y = 2xe^{-x^2}$

左辺は $\frac{d}{dx}(y e^{-x^2})$ と変形できます。

$\frac{d}{dx}(y e^{-x^2}) = 2xe^{-x^2}$

両辺を $x$ で積分します。

$\int \frac{d}{dx}(y e^{-x^2}) dx = \int 2xe^{-x^2} dx$

$y e^{-x^2} = \int 2xe^{-x^2} dx$

右辺の積分を計算します。$u = -x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ より、

$\int 2xe^{-x^2} dx = -\int e^u du = -e^u + C = -e^{-x^2} + C$

したがって、

$y e^{-x^2} = -e^{-x^2} + C$

両辺を $e^{-x^2}$ で割ると、

$y = -1 + Ce^{x^2}$

3. 最終的な答え

$y = -1 + Ce^{x^2}$