次の2つの関数について、グラフを描き、極値と変曲点を求めよ（存在する場合）。また、 $x$ が正または負の無限大に近づくときの極限値を求めよ。 (i) $y = \tanh x$ (ii) $y = e^{-x^2}$

1. 問題の内容

次の2つの関数について、グラフを描き、極値と変曲点を求めよ（存在する場合）。また、 $x$ が正または負の無限大に近づくときの極限値を求めよ。

(i) $y = \tanh x$

(ii) $y = e^{-x^2}$

2. 解き方の手順

(i) $y = \tanh x$ について：

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$

まず、導関数を求める。

$y' = \frac{d}{dx} \tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$

$y'$ を計算すると、常に正の値をとるため、極値は存在しない。

次に、2階導関数を求める。

$y'' = \frac{d^2}{dx^2} \tanh x = -2 \tanh x (1 - \tanh^2 x) = -2 \tanh x \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{-2\sinh x}{\cosh^3 x}$

変曲点を求めるには $y'' = 0$ を解く必要があり、$y'' = 0$ は $\sinh x = 0$ で成り立つ。これは、$x = 0$ の時である。

$x = 0$ の前後で $y''$ の符号が変わるため、$x = 0$ で変曲点を持つ。変曲点の座標は $(0, \tanh 0) = (0, 0)$ となる。

次に、極限を求める。

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = 1$

$\lim_{x \to -\infty} \tanh x = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = -1$

(ii) $y = e^{-x^2}$ について：

まず、導関数を求める。

$y' = \frac{d}{dx} e^{-x^2} = -2xe^{-x^2}$

極値を求めるには、$y' = 0$ を解く必要がある。 $-2xe^{-x^2} = 0$ より、$x = 0$ となる。

$x < 0$ のとき $y' > 0$, $x > 0$ のとき $y' < 0$ なので、$x = 0$ で極大値を持つ。

極大値は $y(0) = e^{-0^2} = 1$ となる。したがって、極大点は $(0, 1)$ である。

次に、2階導関数を求める。

$y'' = \frac{d^2}{dx^2} e^{-x^2} = \frac{d}{dx} (-2xe^{-x^2}) = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1)$

変曲点を求めるには $y'' = 0$ を解く必要があり、$2e^{-x^2}(2x^2 - 1) = 0$ より、$2x^2 - 1 = 0$。

$x^2 = \frac{1}{2}$ なので、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。

変曲点の $y$ 座標は、$y\left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = e^{-(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})^2} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ となる。

したがって、変曲点は $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ と $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ である。

次に、極限を求める。

$\lim_{x \to \infty} e^{-x^2} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0$

3. 最終的な答え

(i) $y = \tanh x$

極値：なし

変曲点： $(0, 0)$

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = 1$

$\lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1$

(ii) $y = e^{-x^2}$

極大値： $(0, 1)$

変曲点： $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$, $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$

$\lim_{x \to \infty} e^{-x^2} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0$