以下の5つの極限を計算します。 (1) $\lim_{n\to\infty} (n - \sqrt{n^2 - 3n})$ (2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^{2n+1} + 1}{4^n - 2^n}$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{(2+4+\dots+2n)^2}{1^3+2^3+\dots+n^3}$ (4) $\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{3}{n})^{\frac{n}{2}}$ (5) $\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{4n})^n$

1. 問題の内容

以下の5つの極限を計算します。

(1) $\lim_{n\to\infty} (n - \sqrt{n^2 - 3n})$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^{2n+1} + 1}{4^n - 2^n}$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{(2+4+\dots+2n)^2}{1^3+2^3+\dots+n^3}$

(4) $\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{3}{n})^{\frac{n}{2}}$

(5) $\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{4n})^n$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n\to\infty} (n - \sqrt{n^2 - 3n})$

有理化します。

$\lim_{n\to\infty} (n - \sqrt{n^2 - 3n}) = \lim_{n\to\infty} \frac{(n - \sqrt{n^2 - 3n})(n + \sqrt{n^2 - 3n})}{n + \sqrt{n^2 - 3n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2 - (n^2 - 3n)}{n + \sqrt{n^2 - 3n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{n + \sqrt{n^2 - 3n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{n + n\sqrt{1 - \frac{3}{n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{3}{1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n}}} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^{2n+1} + 1}{4^n - 2^n}$

$4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{2^{2n+1} + 1}{4^n - 2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 2^{2n} + 1}{2^{2n} - 2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 4^n + 1}{4^n - 2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 + \frac{1}{4^n}}{1 - \frac{2^n}{4^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 + \frac{1}{4^n}}{1 - (\frac{1}{2})^n} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{(2+4+\dots+2n)^2}{1^3+2^3+\dots+n^3}$

$2+4+\dots+2n = 2(1+2+\dots+n) = 2\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

$1^3+2^3+\dots+n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\lim_{n\to\infty} \frac{(n(n+1))^2}{(\frac{n(n+1)}{2})^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2(n+1)^2}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}} = \lim_{n\to\infty} 4 = 4$

(4) $\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{3}{n})^{\frac{n}{2}}$

$\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{3}{n})^{\frac{n}{2}} = \lim_{n\to\infty} ((1 + \frac{3}{n})^{\frac{n}{3}})^{\frac{3}{2}} = (e)^{\frac{3}{2}} = e^{\frac{3}{2}}$

(5) $\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{4n})^n$

$\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{4n})^n = \lim_{n\to\infty} (1 + \frac{-1}{4n})^n = \lim_{n\to\infty} ((1 + \frac{-1}{4n})^{-4n})^{\frac{-1}{-4n} n} = e^{-\frac{1}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $2$

(3) $4$

(4) $e^{\frac{3}{2}}$

(5) $e^{-\frac{1}{4}}$