$\tanh x$ の第2次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$\tanh x$ の第2次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tanh x$ の定義を確認します。

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

次に、$\tanh x$ の1次導関数を求めます。

$\frac{d}{dx} \tanh x = \frac{d}{dx} \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$

または、

$\frac{d}{dx} \tanh x = \frac{d}{dx} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(2 \cosh x)^2} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$

ここで、$\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$ です。

次に、$\tanh x$ の2次導関数を求めます。

$\frac{d^2}{dx^2} \tanh x = \frac{d}{dx} (\operatorname{sech}^2 x) = \frac{d}{dx} (\cosh^{-2} x) = -2 \cosh^{-3} x \cdot \sinh x = -2 \frac{\sinh x}{\cosh^3 x} = -2 \frac{\sinh x}{\cosh x} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = -2 \tanh x \operatorname{sech}^2 x$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2}{dx^2} \tanh x = -2 \tanh x \operatorname{sech}^2 x$