問題1: A, A, A, B, C, D, E の 7 文字を横一列に並べる。 (1) A が隣り合わない並べ方は何通りあるか。 (2) C, D, E の 3 文字がこの順に並んでいるような並べ方は何通りあるか。ただし、C, D, E の間に他の文字が入る場合も含む。 問題2: 正八角形がある。その 3 個の頂点を結んで作られる三角形のうち、 (1) 正八角形と 2 辺を共有する三角形は何個あるか。 (2) 正八角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

1. 問題の内容

問題1: A, A, A, B, C, D, E の 7 文字を横一列に並べる。

(1) A が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

(2) C, D, E の 3 文字がこの順に並んでいるような並べ方は何通りあるか。ただし、C, D, E の間に他の文字が入る場合も含む。

問題2: 正八角形がある。その 3 個の頂点を結んで作られる三角形のうち、

(1) 正八角形と 2 辺を共有する三角形は何個あるか。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) まず、A以外の4文字(B, C, D, E)を並べる。並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

次に、並べた4文字の間にAを挿入する。Aは3つあるので、Aが隣り合わないためには、4文字の両端と間にある5か所のうち、3か所を選んでAを配置する必要がある。

5か所から3か所を選ぶ組み合わせは $_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り。

したがって、Aが隣り合わない並べ方は $24 \times 10 = 240$ 通り。

(2) C, D, E がこの順に並んでいる並べ方を考える。まず、C, D, E を同じ文字 X とみなして A, A, A, B, X, X, X の 7 文字を並べる。この 7 文字の並べ方は $\frac{7!}{3!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 \times 4 = 140$ 通り。

X, X, X の部分に C, D, E をこの順に入れる方法は 1 通りなので、求める並べ方は 140 通り。

問題2:

(1) 正八角形と 2 辺を共有する三角形は、正八角形の隣り合う 3 つの頂点を選んでできる三角形なので、正八角形の辺の数だけ存在する。したがって、8個。

(2) 正八角形から 3 つの頂点を選ぶ方法は $_{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

正八角形と1辺を共有する三角形は、選んだ3つの頂点が隣り合う場合を除き、隣り合った2頂点を選び、もう1つの頂点を隣り合わない頂点から選べばよい。

1辺を共有する三角形は $8 \times 4 = 32$ 個。（共有する辺の選び方8通り、もう1つの頂点の選び方4通り。）

ただし、隣り合う辺は正八角形の2辺を共有する三角形としてカウントされている。

正八角形と辺を共有しない三角形は、全体の三角形の数から、2辺を共有する三角形と1辺を共有する三角形の数を引けばよい。

辺を共有しない三角形の数 $= 56 - 8 -32 = 16$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) 240 通り

(2) 140 通り

問題2:

(1) 8 個

(2) 16 個