円グラフの隣り合う領域が異なる色になるように塗り分ける問題です。 (1) 赤、青、黄、緑の4色全てを使って塗り分ける方法は何通りあるか。 (2) 赤、青、黄、緑の4色の一部または全部を使って塗り分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

円グラフの隣り合う領域が異なる色になるように塗り分ける問題です。

(1) 赤、青、黄、緑の4色全てを使って塗り分ける方法は何通りあるか。

(2) 赤、青、黄、緑の4色の一部または全部を使って塗り分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 4色全てを使う場合

まず、P,Q,R,Sの順に色を塗っていくことを考えます。

* Pの色を4色の中から選びます。選び方は4通りです。

* Qの色をPで塗った色以外の3色の中から選びます。選び方は3通りです。

* Rの色をPとQで塗った色以外の2色の中から選びます。選び方は2通りです。

* Sの色をP,Q,Rで塗った色以外から選ぶ必要がありますが、PとRの色が異なる必要があります。

* PとRの色が同じ場合、Sの色の選び方は1通りになります。

* PとRの色が異なる場合、Sの色の選び方は1通りになります。

いずれにしても、Sの色の選び方は1通りになります。

したがって、塗り方の総数は、4\*3\*2\*1=24通りです。

(2) 一部または全部を使う場合

使用する色の数を場合分けして考えます。

* 2色を使う場合：隣り合う領域の色が異なるという条件を満たせません。したがって0通りです。

* 3色を使う場合：隣り合う領域の色が異なるという条件を満たせません。したがって0通りです。

* 4色を使う場合：(1)より24通りです。

使用できる色の組み合わせは$_{4}C_{4}=1$通りなので、$24 * 1 = 24$ 通り

次に、３色の場合を考えます。

* Pに色を塗る時3通りの選択肢があります。

* Qに色を塗る時、Pで塗った色以外なので2通りの選択肢があります。

* Rに色を塗る時、PとQで塗った色以外から選ぶので1通りの選択肢があります。

* Sに色を塗る時、PとRで使用していない色を選ばなければならないので選択肢は1通りです。

したがって、$3*2*1*1 = 6$

そして３色の選び方は$_{4}C_{3}=4$通りなので、$6*4=24$ 通り

次に、２色の場合を考えます。

* Pに色を塗る時2通りの選択肢があります。

* Qに色を塗る時、Pで塗った色以外なので1通りの選択肢があります。

* Rに色を塗る時、Pの色と同じ色を選ばざるを得ないため、０通りになります。

したがって、

4色の時の塗り方 + 3色の時の塗り方 + 2色の時の塗り方 = 24 + 0 + 0 = 24

したがって、合計は 24通りです。

3. 最終的な答え

(1) 24通り

(2) 24通り