全体集合$U$とその部分集合$A$, $B$について、$n(U)=60$, $n(A)=32$, $n(B)=25$, $n(A \cap B) = 17$であるとき、次の個数を求めよ。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{A \cap B})$ (3) $n(A \cup B)$ (4) $n(A \cap \overline{B})$ (5) $n(\overline{A \cup B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$とその部分集合$A$, $B$について、$n(U)=60$, $n(A)=32$, $n(B)=25$, $n(A \cap B) = 17$であるとき、次の個数を求めよ。

(1) $n(\overline{A})$

(2) $n(\overline{A \cap B})$

(3) $n(A \cup B)$

(4) $n(A \cap \overline{B})$

(5) $n(\overline{A \cup B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A})$を求める。補集合の要素の個数は、全体集合の要素の個数からその集合の要素の個数を引けばよい。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$

$n(\overline{A}) = 60 - 32 = 28$

(2) $n(\overline{A \cap B})$を求める。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$

$n(\overline{A \cap B}) = 60 - 17 = 43$

(3) $n(A \cup B)$を求める。和集合の要素の個数は、それぞれの集合の要素の個数を足し合わせて、共通部分の要素の個数を引けばよい。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 32 + 25 - 17 = 40$

(4) $n(A \cap \overline{B})$を求める。これは、$A$から$A \cap B$を取り除いたものに等しい。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B}) = 32 - 17 = 15$

(5) $n(\overline{A \cup B})$を求める。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(\overline{A \cup B}) = 60 - 40 = 20$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 28$

(2) $n(\overline{A \cap B}) = 43$

(3) $n(A \cup B) = 40$

(4) $n(A \cap \overline{B}) = 15$

(5) $n(\overline{A \cup B}) = 20$