全体集合$U$とその部分集合$A$, $B$について、$n(U)=60$, $n(A)=32$, $n(B)=25$, $n(A \cap B) = 17$であるとき、次の個数を求めよ。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{A \cap B})$ (3) $n(A \cup B)$ (4) $n(A \cap \overline{B})$ (5) $n(\overline{A \cup B})$

離散数学集合集合の要素数補集合和集合共通部分
2025/7/5

1. 問題の内容

全体集合UUとその部分集合AA, BBについて、n(U)=60n(U)=60, n(A)=32n(A)=32, n(B)=25n(B)=25, n(AB)=17n(A \cap B) = 17であるとき、次の個数を求めよ。
(1) n(A)n(\overline{A})
(2) n(AB)n(\overline{A \cap B})
(3) n(AB)n(A \cup B)
(4) n(AB)n(A \cap \overline{B})
(5) n(AB)n(\overline{A \cup B})

2. 解き方の手順

(1) n(A)n(\overline{A})を求める。補集合の要素の個数は、全体集合の要素の個数からその集合の要素の個数を引けばよい。
n(A)=n(U)n(A)n(\overline{A}) = n(U) - n(A)
n(A)=6032=28n(\overline{A}) = 60 - 32 = 28
(2) n(AB)n(\overline{A \cap B})を求める。
n(AB)=n(U)n(AB)n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)
n(AB)=6017=43n(\overline{A \cap B}) = 60 - 17 = 43
(3) n(AB)n(A \cup B)を求める。和集合の要素の個数は、それぞれの集合の要素の個数を足し合わせて、共通部分の要素の個数を引けばよい。
n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)
n(AB)=32+2517=40n(A \cup B) = 32 + 25 - 17 = 40
(4) n(AB)n(A \cap \overline{B})を求める。これは、AAからABA \cap Bを取り除いたものに等しい。
n(AB)=n(A)n(AB)n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)
n(AB)=3217=15n(A \cap \overline{B}) = 32 - 17 = 15
(5) n(AB)n(\overline{A \cup B})を求める。
n(AB)=n(U)n(AB)n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)
n(AB)=6040=20n(\overline{A \cup B}) = 60 - 40 = 20

3. 最終的な答え

(1) n(A)=28n(\overline{A}) = 28
(2) n(AB)=43n(\overline{A \cap B}) = 43
(3) n(AB)=40n(A \cup B) = 40
(4) n(AB)=15n(A \cap \overline{B}) = 15
(5) n(AB)=20n(\overline{A \cup B}) = 20

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