問題10の(1)~(4)を解きます。 (1) 6人が駅伝で走る順番は何通りあるか。 (2) 6人の中から4人の走るメンバーを選ぶ方法は何通りあるか。 (3) 選んだ4人が4区間を走る順番は何通りあるか。 (4) 6人を3人ずつ2組に分ける方法は何通りあるか。

離散数学順列組み合わせ場合の数
2025/7/5

1. 問題の内容

問題10の(1)~(4)を解きます。
(1) 6人が駅伝で走る順番は何通りあるか。
(2) 6人の中から4人の走るメンバーを選ぶ方法は何通りあるか。
(3) 選んだ4人が4区間を走る順番は何通りあるか。
(4) 6人を3人ずつ2組に分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6人の順番を考えるので、これは順列の問題です。6人の並び方は 6!6! で計算できます。
6!=6×5×4×3×2×1=7206! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
(2) 6人の中から4人を選ぶので、これは組み合わせの問題です。6C4_6C_4 で計算できます。
6C4=6!4!(64)!=6!4!2!=6×5×4×3×2×1(4×3×2×1)(2×1)=6×52×1=15_6C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
(3) 4人の順番を考えるので、これは順列の問題です。4人の並び方は 6P4_6P_4 で計算できます。
6P4_6P_4は6人から4人を選んで並べる順列なので、6P4=6!(64)!=6!2!=6×5×4×3=360_6P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 です。
問題文には6×5=306\times 5=30と書いてありますが誤りです。
(4) 6人の中から3人を選ぶ組み合わせを考えます。残りの3人は自動的に決まります。これは 6C3_6C_3 で計算できます。ただし、2つのグループの区別がないため、6C3_6C_3 を2で割る必要はありません。
6C3=6!3!(63)!=6!3!3!=6×5×4×3×2×1(3×2×1)(3×2×1)=6×5×43×2×1=20_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

3. 最終的な答え

(1) 720通り
(2) 15通り
(3) 360通り
(4) 20通り

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