## 1. 問題の内容

離散数学集合集合演算補集合共通部分和集合
2025/7/4
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1. 問題の内容

全体集合U={1,2,3,4,5,6}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}、部分集合A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}, B={3,6}B = \{3, 6\}について、以下の集合を求める問題です。
(1) B\overline{B}
(2) AB\overline{A} \cap B
(3) ABA \cap \overline{B}
(4) AB\overline{A \cup B}
(5) AB\overline{A} \cap \overline{B}
(6) ABA \cap \overline{B}
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2. 解き方の手順

まず、補集合の定義を確認します。集合XXの補集合X\overline{X}は、全体集合UUの中でXXに含まれない要素全体の集合です。
(1) B\overline{B}を求める:
U={1,2,3,4,5,6}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}からB={3,6}B = \{3, 6\}の要素を取り除きます。
B={1,2,4,5}\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}
(2) AB\overline{A} \cap Bを求める:
A\overline{A}はすでに与えられており、A={4,5,6}\overline{A} = \{4, 5, 6\}です。
AB\overline{A} \cap Bは、A\overline{A}BBの両方に含まれる要素の集合です。
AB={4,5,6}{3,6}={6}\overline{A} \cap B = \{4, 5, 6\} \cap \{3, 6\} = \{6\}
(3) ABA \cap \overline{B}を求める:
B\overline{B}は(1)で求めた通り{1,2,4,5}\{1, 2, 4, 5\}です。
ABA \cap \overline{B}は、AAB\overline{B}の両方に含まれる要素の集合です。
AB={1,2,3}{1,2,4,5}={1,2}A \cap \overline{B} = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2\}
(4) AB\overline{A \cup B}を求める:
ABA \cup Bは、AABBの少なくとも一方に含まれる要素の集合です。
AB={1,2,3}{3,6}={1,2,3,6}A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \{3, 6\} = \{1, 2, 3, 6\}
AB\overline{A \cup B}は、UUからABA \cup Bの要素を取り除いた集合です。
AB={1,2,3,4,5,6}{1,2,3,6}={4,5}\overline{A \cup B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{1, 2, 3, 6\} = \{4, 5\}
(5) AB\overline{A} \cap \overline{B}を求める:
A={4,5,6}\overline{A} = \{4, 5, 6\}B={1,2,4,5}\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}です。
AB\overline{A} \cap \overline{B}は、A\overline{A}B\overline{B}の両方に含まれる要素の集合です。
AB={4,5,6}{1,2,4,5}={4,5}\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 5, 6\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{4, 5\}
(6) ABA \cap \overline{B}を求める:
これは(3)で計算済みです。
AB={1,2}A \cap \overline{B} = \{1, 2\}
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3. 最終的な答え

(1) B={1,2,4,5}\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}
(2) AB={6}\overline{A} \cap B = \{6\}
(3) AB={1,2}A \cap \overline{B} = \{1, 2\}
(4) AB={4,5}\overline{A \cup B} = \{4, 5\}
(5) AB={4,5}\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 5\}
(6) AB={1,2}A \cap \overline{B} = \{1, 2\}

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