(1) $x + y + z = 7$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の数を求めます。 (2) $x + y + z = 9$ を満たす正の整数 $x, y, z$ の組の数を求めます。

1. 問題の内容

(1) $x + y + z = 7$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の数を求めます。

(2) $x + y + z = 9$ を満たす正の整数 $x, y, z$ の組の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x + y + z = 7$ を満たす負でない整数解の組の数を求める問題は、重複組み合わせの問題として解けます。$n$個のものから重複を許して$r$個選ぶ組み合わせの数は、${}_{n+r-1}C_r$ で表されます。

この問題では、$x, y, z$ の3つの変数があり、合計が7となるため、$n = 3$、$r = 7$ となります。

したがって、組の数は

${}_{3+7-1}C_7 = {}_{9}C_7 = {}_{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ となります。

(2) $x + y + z = 9$ を満たす正の整数解の組の数を求める問題も、重複組み合わせの問題として解けます。ただし、今回は $x, y, z$ は正の整数である必要があります。

$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z'$ は負でない整数となります。

このとき、$x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 9$ となり、$x' + y' + z' = 6$ となります。

$x' + y' + z' = 6$ を満たす負でない整数解の組の数は、重複組み合わせの問題として解けます。$n = 3$, $r = 6$ なので、

${}_{3+6-1}C_6 = {}_{8}C_6 = {}_{8}C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 36個

(2) 28個