(1) $x + y + z = 7$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の数を求めます。 (2) $x + y + z = 9$ を満たす正の整数 $x, y, z$ の組の数を求めます。

離散数学重複組み合わせ整数解組み合わせ
2025/7/4

1. 問題の内容

(1) x+y+z=7x + y + z = 7 を満たす負でない整数 x,y,zx, y, z の組の数を求めます。
(2) x+y+z=9x + y + z = 9 を満たす正の整数 x,y,zx, y, z の組の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) x+y+z=7x + y + z = 7 を満たす負でない整数解の組の数を求める問題は、重複組み合わせの問題として解けます。nn個のものから重複を許してrr個選ぶ組み合わせの数は、n+r1Cr{}_{n+r-1}C_r で表されます。
この問題では、x,y,zx, y, z の3つの変数があり、合計が7となるため、n=3n = 3r=7r = 7 となります。
したがって、組の数は
3+71C7=9C7=9C2=9×82×1=36{}_{3+7-1}C_7 = {}_{9}C_7 = {}_{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 となります。
(2) x+y+z=9x + y + z = 9 を満たす正の整数解の組の数を求める問題も、重複組み合わせの問題として解けます。ただし、今回は x,y,zx, y, z は正の整数である必要があります。
x=x1x' = x - 1, y=y1y' = y - 1, z=z1z' = z - 1 とおくと、x,y,zx', y', z' は負でない整数となります。
このとき、x+1+y+1+z+1=9x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 9 となり、x+y+z=6x' + y' + z' = 6 となります。
x+y+z=6x' + y' + z' = 6 を満たす負でない整数解の組の数は、重複組み合わせの問題として解けます。n=3n = 3, r=6r = 6 なので、
3+61C6=8C6=8C2=8×72×1=28{}_{3+6-1}C_6 = {}_{8}C_6 = {}_{8}C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 となります。

3. 最終的な答え

(1) 36個
(2) 28個

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