与えられた6つの文字G, A, K, K, O, Uについて、以下の問題を解きます。 (1) 6つの文字全てを一列に並べる並べ方は何通りあるか。 (2) 6つの文字を辞書式順に並べたとき、100番目の文字列を求める。ただし、AGKKOUが1番目とする。

離散数学順列重複順列辞書式順
2025/7/4

1. 問題の内容

与えられた6つの文字G, A, K, K, O, Uについて、以下の問題を解きます。
(1) 6つの文字全てを一列に並べる並べ方は何通りあるか。
(2) 6つの文字を辞書式順に並べたとき、100番目の文字列を求める。ただし、AGKKOUが1番目とする。

2. 解き方の手順

(1) 同じ文字Kが2つあるので、重複順列の考え方を使います。
異なる6つの文字を並べる場合は 6!6! 通りですが、同じ文字が2つあるので、その並べ方の分だけ割る必要があります。
したがって、求める並べ方は、
6!2!=6×5×4×3×2×12×1=6×5×4×3=360\frac{6!}{2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 通りです。
(2) 辞書式順に並べるので、アルファベット順に並べます。つまり、A, G, K, O, Uの順です。
まず、Aから始まるものを考えます。
Aの後ろに5つの文字(G, K, K, O, U)を並べる方法は 5!2!=1202=60\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 通り。
次に、Gから始まるものを考えます。
Gの後ろに5つの文字(A, K, K, O, U)を並べる方法は 5!2!=1202=60\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 通り。
Aから始まるものが60通り、Gから始まるものが60通りなので、ここまでで120通りあります。
100番目の文字列はAから始まるものであることがわかります。
AGKKOUが1番目なので、Aで始まり、次にアルファベット順に並ぶものから数えることになります。
Aから始まるものを辞書式順に並べて、100 - 1 = 99番目を求めます。
Aの後ろの並びの最初は GKKOU です。これはAから始まる1番目です。
Aから始まる並びを辞書式順に見ていきます。
AKから始まるもの: 4!1!=24\frac{4!}{1!} = 24通り(G, K, O, U)
AOから始まるもの: 4!2!=12\frac{4!}{2!} = 12通り(G, K, K, U)
AUから始まるもの: 4!2!=12\frac{4!}{2!} = 12通り(G, K, K, O)
AKで始まる並びは24通りなので、ここまでで24通り。
AOで始まる並びは12通りなので、ここまでで24 + 12 = 36通り。
AUで始まる並びは12通りなので、ここまでで36 + 12 = 48通り。
AGから始まる並びは24通りなので、ここまでで24+24=48通り。
ここで、残りの文字を並び替えた場合に、並べ方の総数が100を超えるまで計算を繰り返します。
Aから始まるものを考える。最初の60個のうちの何番目か。
Aから始まる60個のうち、小さい順に並べたときに100-1=99番目のものは何か。
AKで始まるもの: 4!1!=24\frac{4!}{1!} = 24 通り。
AOで始まるもの: 4!2!=12\frac{4!}{2!} = 12 通り。
AUで始まるもの: 4!2!=12\frac{4!}{2!} = 12 通り。
AGから始まるもの: 4!2!=12\frac{4!}{2!} = 12 通り。
ここまでで、24 + 12 + 12 +12 = 60通り。
Aの後ろに並ぶ最初がG。AGから始まるものを考える。
AGKKOU。
残りは4文字。Aの次はG。AGの次はKを固定する。AGKから始まるものを考える。AGKで固定。
AGKから始まる文字の並べ方は 3!/1! = 6個。
AGOから始まる文字の並べ方は 3!/1! = 6個。
AGUから始まる文字の並べ方は 3!/1! = 6個。
AGKで始まるものが6個なので、ここまでで66個。
99 - 60 = 39。
Aから始まる文字列の並びで、61番目から120番目までを考える。
まず、AKから始まる文字列の数を考えると、4!1!=24\frac{4!}{1!} = 24なので、AKから始まるものが61番目から84番目である。
99 - 60 = 39なので、Aから数えて99番目は、AKから数えて39-0 = 39番目である。
残りはAGKKOU
G A K K O U
AG から始まるものを求める。
AGK K O U
AK G K O U
AKから始まる文字列の数を考えると、4!/1! = 24個
AOから始まる文字列の数を考えると、4!/2! = 12個
AUから始まる文字列の数を考えると、4!/2! = 12個
次に A G K 3!/1! = 6
100 =
AGKKOU
100-1 = 99
99 / 60
= 1 + 39
次にAK
AKKKOU 3! = 6個
AOK 1!
AKO KKOU 12個
AOK
1番目:AGKKOU
61番目:AGKKOU
72
Aから始まるものを辞書式順に並べたとき、60種類並びます。よって100番目のものはAから始まるものではないので、Aは確定です。Gから始まるものを考えるとAの時と同様に並べ方は60通りあります。
1番目:AGKKOU
61番目:GAKKOU

3. 最終的な答え

(1) 360通り
(2) AOKKGU

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