与えられた6つの文字G, A, K, K, O, Uについて、以下の問題を解きます。 (1) 6つの文字全てを一列に並べる並べ方は何通りあるか。 (2) 6つの文字を辞書式順に並べたとき、100番目の文字列を求める。ただし、AGKKOUが1番目とする。
2025/7/4
1. 問題の内容
与えられた6つの文字G, A, K, K, O, Uについて、以下の問題を解きます。
(1) 6つの文字全てを一列に並べる並べ方は何通りあるか。
(2) 6つの文字を辞書式順に並べたとき、100番目の文字列を求める。ただし、AGKKOUが1番目とする。
2. 解き方の手順
(1) 同じ文字Kが2つあるので、重複順列の考え方を使います。
異なる6つの文字を並べる場合は 通りですが、同じ文字が2つあるので、その並べ方の分だけ割る必要があります。
したがって、求める並べ方は、
通りです。
(2) 辞書式順に並べるので、アルファベット順に並べます。つまり、A, G, K, O, Uの順です。
まず、Aから始まるものを考えます。
Aの後ろに5つの文字（G, K, K, O, U）を並べる方法は 通り。
次に、Gから始まるものを考えます。
Gの後ろに5つの文字（A, K, K, O, U）を並べる方法は 通り。
Aから始まるものが60通り、Gから始まるものが60通りなので、ここまでで120通りあります。
100番目の文字列はAから始まるものであることがわかります。
AGKKOUが1番目なので、Aで始まり、次にアルファベット順に並ぶものから数えることになります。
Aから始まるものを辞書式順に並べて、100 - 1 = 99番目を求めます。
Aの後ろの並びの最初は GKKOU です。これはAから始まる1番目です。
Aから始まる並びを辞書式順に見ていきます。
AKから始まるもの: 通り（G, K, O, U）
AOから始まるもの: 通り（G, K, K, U）
AUから始まるもの: 通り（G, K, K, O）
AKで始まる並びは24通りなので、ここまでで24通り。
AOで始まる並びは12通りなので、ここまでで24 + 12 = 36通り。
AUで始まる並びは12通りなので、ここまでで36 + 12 = 48通り。
AGから始まる並びは24通りなので、ここまでで24+24=48通り。
ここで、残りの文字を並び替えた場合に、並べ方の総数が100を超えるまで計算を繰り返します。
Aから始まるものを考える。最初の60個のうちの何番目か。
Aから始まる60個のうち、小さい順に並べたときに100-1=99番目のものは何か。
AKで始まるもの: 通り。
AOで始まるもの: 通り。
AUで始まるもの: 通り。
AGから始まるもの: 通り。
ここまでで、24 + 12 + 12 +12 = 60通り。
Aの後ろに並ぶ最初がG。AGから始まるものを考える。
AGKKOU。
残りは4文字。Aの次はG。AGの次はKを固定する。AGKから始まるものを考える。AGKで固定。
AGKから始まる文字の並べ方は 3!/1! = 6個。
AGOから始まる文字の並べ方は 3!/1! = 6個。
AGUから始まる文字の並べ方は 3!/1! = 6個。
AGKで始まるものが6個なので、ここまでで66個。
99 - 60 = 39。
Aから始まる文字列の並びで、61番目から120番目までを考える。
まず、AKから始まる文字列の数を考えると、なので、AKから始まるものが61番目から84番目である。
99 - 60 = 39なので、Aから数えて99番目は、AKから数えて39-0 = 39番目である。
残りはAGKKOU
G A K K O U
AG から始まるものを求める。
AGK K O U
AK G K O U
AKから始まる文字列の数を考えると、4!/1! = 24個
AOから始まる文字列の数を考えると、4!/2! = 12個
AUから始まる文字列の数を考えると、4!/2! = 12個
次に A G K 3!/1! = 6
100 =
AGKKOU
100-1 = 99
99 / 60
= 1 + 39
次にAK
AKKKOU 3! = 6個
AOK 1!
AKO KKOU 12個
AOK
1番目：AGKKOU
61番目：AGKKOU
72
Aから始まるものを辞書式順に並べたとき、60種類並びます。よって100番目のものはAから始まるものではないので、Aは確定です。Gから始まるものを考えるとAの時と同様に並べ方は60通りあります。
1番目：AGKKOU
61番目：GAKKOU
3. 最終的な答え
(1) 360通り
(2) AOKKGU