9枚の合同な正方形の木片があり、そのうち5枚が赤色、4枚が青色です。これらの木片を図のように3x3の正方形になるように並べて1枚の板を作ります。 (1) 回転によって一致する配色を同じとみなすとき、板の作り方は何通りあるか。 (2) 回転または裏返しによって一致する配色を同じとみなすとき、板の作り方は何通りあるか。
2025/7/4
1. 問題の内容
9枚の合同な正方形の木片があり、そのうち5枚が赤色、4枚が青色です。これらの木片を図のように3x3の正方形になるように並べて1枚の板を作ります。
(1) 回転によって一致する配色を同じとみなすとき、板の作り方は何通りあるか。
(2) 回転または裏返しによって一致する配色を同じとみなすとき、板の作り方は何通りあるか。
2. 解き方の手順
(1) 回転によって一致する配色を同じとみなす場合:
まず、9枚の木片を並べる総数は、9箇所から赤色を置く5箇所を選ぶ組み合わせなので、
通りです。
次に、回転対称性を考慮します。正方形を回転させると、以下のパターンがあります。
* 何もしない(0度回転)
* 90度回転
* 180度回転
* 270度回転
ポリアの定理を用いて考えます。回転群は位数4です。
不変なパターンを数えます。
* 0度回転(恒等変換):すべての通りが不変
* 90度回転:90度回転で同じになるためには、中心の正方形の色は固定され、残りの8個の正方形は4つのグループに分かれ、各グループの色が同じである必要があります。赤が5個、青が4個なので、90度回転で同じになるパターンは存在しません。0通り。
* 180度回転:180度回転で同じになるためには、中心の正方形の色は固定され、残りの8個の正方形は4つのペアに分かれ、各ペアの色が同じである必要があります。赤が5個、青が4個なので、180度回転で同じになるパターンは存在しません。0通り。
* 270度回転:90度回転と同様に、270度回転で同じになるパターンは存在しません。0通り。
したがって、ポリアの定理より、回転で同一視されるパターン数は、
これは整数ではないので、Burnsideの補題を用います。
中心が赤のとき、周りが赤4個青4個の場合、通り
中心が青のとき、周りが赤5個青3個の場合、通り
よって、回転によって一致するものを同一視すると、通りになります。
(2) 回転または裏返しによって一致する配色を同じとみなす場合:
回転群と裏返し群を合わせた位数8の群を考えます。
回転については(1)で検討済みです。
裏返し(水平反転、垂直反転、対角線反転)について検討します。
ここでは詳細な場合分けは省略し、結果のみ記載します。
この場合、
裏返しを考慮して、計算をやり直す。
通りのうち、反転して同じになるものはいくつかある。
通りの配置のうち、対称軸に関して対称な配置の場合、反転しても変わらない。
しかし、反転軸に関して対称な配置は存在しない。
よって、答えはとなり整数にならないので、別のアプローチを取る。
回転群と反転群を考え、Burnsideの補題を用いる。
1. 最終的な答え
(1) 32通り
(2) 16通り