8人を部屋A, B、またはグループA, Bに分ける場合の数を求める問題です。 (1) 8人を2つの部屋A, Bに入れる方法。ただし、誰も入らない部屋があっても良い。 (2) 8人を2つのグループA, Bに分ける方法。 (3) 8人を2つのグループに分ける方法。

1. 問題の内容

8人を部屋A, B、またはグループA, Bに分ける場合の数を求める問題です。

(1) 8人を2つの部屋A, Bに入れる方法。ただし、誰も入らない部屋があっても良い。

(2) 8人を2つのグループA, Bに分ける方法。

(3) 8人を2つのグループに分ける方法。

2. 解き方の手順

(1) 8人を2つの部屋A, Bに入れる方法

一人一人がA, Bのどちらかの部屋に入る方法を考える。各人について2通りの選択肢があるので、8人全体では $2^8$ 通りの方法がある。

誰も入らない部屋があっても良いので、$2^8 = 256$ 通り。

(2) 8人を2つのグループA, Bに分ける方法

(1)と同様に、一人一人がA, Bのどちらかのグループに入る方法を考える。各人について2通りの選択肢があるので、8人全体では $2^8$ 通りの方法がある。

ただし、全員がAに入る場合と全員がBに入る場合は、それぞれ「全員がA」、「全員がB」という分け方になる。これらはA, B両方のグループに人がいるという条件に反するので、この2通りを引く必要がある。よって、$2^8 - 2 = 256 - 2 = 254$ 通り。

(3) 8人を2つのグループに分ける方法

(2)ではグループにA, Bという名前が付いているので、Aに$k$人、Bに$8-k$人という分け方と、Aに$8-k$人、Bに$k$人という分け方は区別された。しかし、単に2つのグループに分ける場合、この2つは同じ分け方とみなされる。したがって、(2)で求めた数から、A, Bが区別できない場合を考慮して、2で割る必要がある。

ただし、(2)で引いた2通り（全員がAまたは全員がB）は、ここでは考えない。なぜなら、少なくとも1人は各グループにいないといけないからである。

具体的に計算する前に、(2)の254通りの分け方において、各グループに少なくとも1人がいるという条件を満たしている。したがって、(2)の結果である254通りの分け方を2で割れば良いことになる。しかし、これは整数にならないので、注意が必要である。

まず、(2)で求めた254通りの分け方は、Aに$k$人、Bに$8-k$人と分ける分け方と、Aに$8-k$人、Bに$k$人と分ける分け方を含んでいる。ただし、$k \ne 8-k$の場合、すなわち$k \ne 4$の場合には、これらの2つの分け方は異なるものとして数えられている。一方、$k=4$の場合、すなわちAとBに4人ずつ分かれる場合には、この分け方は1回しか数えられていない。

そこで、$k=4$の場合を除いた分け方を2で割り、最後に$k=4$の場合の分け方を足し合わせる。$k=4$の場合の分け方は、${}_8 C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$通りである。

したがって、A, Bの区別をなくすと、(2)で求めた254通りのうち、$k \ne 4$である分け方は、$254 - 70 = 184$通りである。これらの分け方は、A, Bの区別をなくすと、$184 / 2 = 92$通りとなる。

したがって、求める分け方は、$92 + 35 = 127$通りとなる。

ここで、$2^8=256$なので、空のグループを許容する場合は、$256-2 = 254$となり、これを2で割ると127となる。空のグループを許容しない場合は、$256-2=254$。

グループに少なくとも1人いる必要があるので、空のグループは許容されない。したがって、2つのグループに分ける方法の数は、$(2^8 - 2) / 2 = (256 - 2) / 2 = 254 / 2 = 127$通りである。

3. 最終的な答え

(1) 256通り

(2) 254通り

(3) 127通り