問題は、組み合わせ $_nC_3$ を計算し、その結果を多項式で表すことです。

離散数学組み合わせ二項係数組み合わせ論階乗多項式
2025/7/5

1. 問題の内容

問題は、組み合わせ nC3_nC_3 を計算し、その結果を多項式で表すことです。

2. 解き方の手順

組み合わせ nC3_nC_3 は、n個のものから3個を選ぶ場合の数を表し、以下の公式で計算されます。
nC3=n(n1)(n2)3!_nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}
ここで、3! (3の階乗) は 3×2×1=63 \times 2 \times 1 = 6 です。
したがって、
nC3=n(n1)(n2)6_nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}
分子を展開します。
n(n1)(n2)=n(n23n+2)=n33n2+2nn(n-1)(n-2) = n(n^2 - 3n + 2) = n^3 - 3n^2 + 2n
したがって、
nC3=n33n2+2n6_nC_3 = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n}{6}

3. 最終的な答え

nC3=n33n2+2n6_nC_3 = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n}{6}

「離散数学」の関連問題

先生2人と生徒3人が1列に並ぶ場合の並び方について、以下の4つの場合について場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方 (2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方 (3) 両端が生徒である並び方 (4...

順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/10

大人3人と子供3人が輪になって並ぶ場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方を求めます。 (2) 大人と子供が交互に並ぶ並び方を求めます。

順列組み合わせ円順列
2025/7/9

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、以下の2つの命題が正しいか否かを判断し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げる。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等...

集合論無限集合対等全単射証明反例
2025/7/9

男子4人と女子4人が手をつないで円を作るとき、次の問いに答えます。 (1) 円の作り方は全部で何通りあるか。 (2) 男子と女子が交互になる円の作り方は何通りあるか。 (3) 男子の太郎君と次郎君が向...

円順列順列組み合わせ場合の数
2025/7/9

図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、Qを通る最短経路の総数、PまたはQを通る最短経路の総数をそれぞれ求める問題です。

組み合わせ最短経路順列
2025/7/9

「KAWAGOE」の7文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。ただし、Aが2つあるので、同じものを含む順列の考え方を使います。

順列組み合わせ場合の数重複順列
2025/7/9

正六角形を6個の正三角形に分割し、各三角形を異なる色で塗り分ける問題です。ただし、回転して一致する塗り方は同じものとみなします。 (1) 6色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。 (2) 6色...

組み合わせ場合の数順列円順列正多角形
2025/7/9

(1) 集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ の部分集合を、与えられた集合 $P = \{1, 2, 3, 5\}$, $Q = \{1, 2, 4, 6\}$, $R = \...

集合部分集合補集合共通部分和集合
2025/7/9

与えられた問題は、組み合わせ (combination) に関する計算問題と、正六角形に関する問題です。具体的には、以下の問題があります。 - 問題54: 組み合わせの計算 (6問) - 問題55: ...

組み合わせnCr正六角形組み合わせの計算
2025/7/9

いくつか場合の数を求める問題が掲載されています。 具体的には、組み合わせ(Combination)の計算、ケーキの選び方、コインの表裏の出方、正六角形に関する問題、果物の選び方、男女の選び方、カードの...

組み合わせ場合の数順列二項係数重複組合せ
2025/7/9