問題は、組み合わせ $_nC_3$ を計算し、その結果を多項式で表すことです。

離散数学組み合わせ二項係数組み合わせ論階乗多項式
2025/7/5

1. 問題の内容

問題は、組み合わせ nC3_nC_3 を計算し、その結果を多項式で表すことです。

2. 解き方の手順

組み合わせ nC3_nC_3 は、n個のものから3個を選ぶ場合の数を表し、以下の公式で計算されます。
nC3=n(n1)(n2)3!_nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}
ここで、3! (3の階乗) は 3×2×1=63 \times 2 \times 1 = 6 です。
したがって、
nC3=n(n1)(n2)6_nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}
分子を展開します。
n(n1)(n2)=n(n23n+2)=n33n2+2nn(n-1)(n-2) = n(n^2 - 3n + 2) = n^3 - 3n^2 + 2n
したがって、
nC3=n33n2+2n6_nC_3 = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n}{6}

3. 最終的な答え

nC3=n33n2+2n6_nC_3 = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n}{6}

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