全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、$A \cap B = \{2\}$、$A^c \cap B^c = \{4, 6, 8\}$、$A^c \cap B = \{1, 9\}$ であるとき、以下の集合を求めます。 (1) $A \cup B$ (2) $B$ (3) $A^c \cap B^c$

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、$A \cap B = \{2\}$、$A^c \cap B^c = \{4, 6, 8\}$、$A^c \cap B = \{1, 9\}$ であるとき、以下の集合を求めます。

(1) $A \cup B$

(2) $B$

(3) $A^c \cap B^c$

2. 解き方の手順

(1) $A \cup B$ を求める。

まず、$U$ を以下のように分割します。

$U = (A \cap B) \cup (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \cup (A^c \cap B^c)$

与えられた条件から、

$A \cap B = \{2\}$

$A^c \cap B = \{1, 9\}$

$A^c \cap B^c = \{4, 6, 8\}$

$B = (A \cap B) \cup (A^c \cap B) = \{2\} \cup \{1, 9\} = \{1, 2, 9\}$

$B^c = (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B^c)$

$A = (A \cap B) \cup (A \cap B^c)$

$A \cup B = (A \cap B) \cup (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)$

$U = (A \cup B) \cup (A^c \cap B^c)$ なので、

$A \cup B = U - (A^c \cap B^c)$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{4, 6, 8\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$

(2) $B$ を求める。

$B = (A \cap B) \cup (A^c \cap B)$

$B = \{2\} \cup \{1, 9\} = \{1, 2, 9\}$

(3) $A^c \cap B^c$ を求める。

これは問題文で与えられています。

$A^c \cap B^c = \{4, 6, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$

(2) $B = \{1, 2, 9\}$

(3) $A^c \cap B^c = \{4, 6, 8\}$