6人をA, B, Cの3つの部屋に分ける方法について、以下の3つの場合を考える。 (1) 空き部屋があっても良い場合 (2) 1部屋だけ空き部屋があっても良い場合 (3) 空き部屋がない場合

1. 問題の内容

6人をA, B, Cの3つの部屋に分ける方法について、以下の3つの場合を考える。

(1) 空き部屋があっても良い場合

(2) 1部屋だけ空き部屋があっても良い場合

(3) 空き部屋がない場合

2. 解き方の手順

(1) 空き部屋があっても良い場合

各人はA, B, Cのいずれかの部屋に入る事ができるので、各人の選択肢は3通り。6人それぞれに3通りの選択肢があるので、

$3^6 = 729$ 通り

(2) 1部屋だけ空き部屋があっても良い場合

まず、空き部屋となる部屋の選び方は3通り。

次に、残りの2部屋に6人を分ける方法を考える。各人は2部屋のいずれかに入るので、$2^6 = 64$ 通り。しかし、この中には全員が同じ部屋に入る場合が2通りあるので、これを除く必要がある。

したがって、1部屋だけ空き部屋がある場合の数は、

$3 \times (2^6 - 2) = 3 \times (64 - 2) = 3 \times 62 = 186$ 通り

(3) 空き部屋がない場合

まず、6人を3つのグループに分ける方法を考える。グループ分けの方法は以下の通り。

- (4, 1, 1)の組分け： $_6C_4 \times _2C_1 \times _1C_1 \div 2! = 15$

- (3, 2, 1)の組分け： $_6C_3 \times _3C_2 \times _1C_1 = 60$

- (2, 2, 2)の組分け： $_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 \div 3! = 15$

これらのグループ分けの方法の合計は、 $15 + 60 + 15 = 90$ 通り。

次に、分けられた3つのグループをA, B, Cの部屋に割り当てる方法を考える。これは、3! = 6 通り。

したがって、空き部屋がない場合の数は、

$90 \times 6 = 540$ 通り

別の解き方として、包除原理を利用する。

全体のパターン数$3^6$から、少なくとも1つの部屋が空となる場合を引く。1つの部屋が空になるのは $_3C_1 \times 2^6$通り、2つの部屋が空になるのは$_3C_2 \times 1^6$通り。

したがって、$3^6 - _3C_1 \times 2^6 + _3C_2 \times 1^6 = 729 - 3 \times 64 + 3 \times 1 = 729 - 192 + 3 = 540$通り

3. 最終的な答え

(1) 729通り

(2) 186通り

(3) 540通り