格子状の道路において、点Aから点Bまで最短距離で行く道順について、以下の3つの問いに答える問題です。 (1) 道順の総数を求めます。 (2) 点Pを通る道順の数を求めます。 (3) 点Pも点Qも通らない道順の数を求めます。

1. 問題の内容

格子状の道路において、点Aから点Bまで最短距離で行く道順について、以下の3つの問いに答える問題です。

(1) 道順の総数を求めます。

(2) 点Pを通る道順の数を求めます。

(3) 点Pも点Qも通らない道順の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 道順の総数

AからBへ行くには、右に4回、上に3回移動する必要があります。したがって、合計7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの記号を用いて ${}_7 C_4$ と表せます。

${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) Pを通る道順の数

AからPへ行くには、右に2回、上に1回移動する必要があります。その道順は${}_3 C_2$です。PからBへ行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。その道順は${}_4 C_2$です。したがって、Pを通る道順は、AからPへ行く道順の数とPからBへ行く道順の数の積になります。

AからPへ行く道順: ${}_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$

PからBへ行く道順: ${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

Pを通る道順の数: $3 \times 6 = 18$

(3) PもQも通らない道順の数

まず、Qを通る道順の数を求めます。

AからQへ行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。その道順は${}_5 C_3$です。QからBへ行くには、右に1回、上に1回移動する必要があります。その道順は${}_2 C_1$です。したがって、Qを通る道順は、AからQへ行く道順の数とQからBへ行く道順の数の積になります。

AからQへ行く道順: ${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

QからBへ行く道順: ${}_2 C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$

Qを通る道順の数: $10 \times 2 = 20$

次に、PもQも通る道順の数を求めます。これはAからPへ行き、PからQへ行き、QからBへ行く道順の数を計算します。

AからPへ行く道順: ${}_3 C_2 = 3$

PからQへ行くには、右に1回、上に1回移動する必要があります。その道順は${}_2 C_1 = 2$

QからBへ行く道順: ${}_2 C_1 = 2$

PもQも通る道順の数: $3 \times 2 \times 2 = 12$

Pを通る道順の数とQを通る道順の数の和から、PもQも通る道順の数を引くと、PまたはQを通る道順の数が求まります。

PまたはQを通る道順の数: $18 + 20 - 12 = 26$

したがって、PもQも通らない道順の数は、全体の道順の数からPまたはQを通る道順の数を引けば求められます。

PもQも通らない道順の数: $35 - 26 = 9$

3. 最終的な答え

(1) 道順の総数：35通り

(2) Pを通る道順：18通り

(3) PもQも通らない道順：9通り