a, b, c, d, e の文字が書かれた玉が 1 個ずつあるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) これらの玉を円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) これらの 5 個から 3 個を取り出して円形に並べる方法は何通りあるか。 (3) a, b が隣り合うように円形に並べる方法は何通りあるか。 (4) これらの玉にひもを通し、輪を作る方法は何通りあるか。

はい、承知いたしました。問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

a, b, c, d, e の文字が書かれた玉が 1 個ずつあるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) これらの玉を円形に並べる方法は何通りあるか。

(2) これらの 5 個から 3 個を取り出して円形に並べる方法は何通りあるか。

(3) a, b が隣り合うように円形に並べる方法は何通りあるか。

(4) これらの玉にひもを通し、輪を作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 円順列の基本問題です。n 個のものを円形に並べる方法は $(n-1)!$ 通りです。今回は 5 個の玉を円形に並べるので、

$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り

(2) まず 5 個から 3 個を選ぶ組み合わせを考えます。これは $_5C_3$ で計算できます。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

次に、選んだ 3 個を円形に並べる方法を考えます。これは $(3-1)! = 2! = 2$ 通りです。

したがって、5 個から 3 個を取り出して円形に並べる方法は、

$10 \times 2 = 20$ 通り

(3) a, b が隣り合うので、a, b をひとまとめにして考えます。a, b を 1 つの塊と考えると、全体で 4 つのもの (a, b の塊, c, d, e) を円形に並べることになります。これは $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

また、a, b の並び方は a, b と b, a の 2 通りあります。

したがって、a, b が隣り合うように円形に並べる方法は、

$6 \times 2 = 12$ 通り

(4) 円順列の場合、裏返すと同じ並びになるものが存在します。例えば、時計回りに a, b, c, d, e と並んでいる場合、反時計回りに a, e, d, c, b と並んでいるものは、裏返すと一致します。したがって、円順列の総数を 2 で割る必要があります。

(1) より 5 個の玉を円形に並べる方法は 24 通りでした。

輪を作る場合は、裏返して同じになるものがペアになるため、

$\frac{24}{2} = 12$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 24 通り

(2) 20 通り

(3) 12 通り

(4) 12 通り