定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2}$ を積分します。

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

次に、定積分を計算します。ただし、$x=0$で被積分関数が定義されないため、そのまま積分すると誤った結果になることに注意する必要があります。

積分範囲に$x=0$が含まれているため、広義積分として扱う必要があります。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \left( \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{x^2} dx + \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^2} dx \right)$

$= \lim_{\epsilon \to +0} \left( \left[ -\frac{1}{x} \right]_{-1}^{-\epsilon} + \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\epsilon}^{1} \right)$

$= \lim_{\epsilon \to +0} \left( -\frac{1}{-\epsilon} - \left( -\frac{1}{-1} \right) + \left( -\frac{1}{1} \right) - \left( -\frac{1}{\epsilon} \right) \right)$

$= \lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{1}{\epsilon} - 1 - 1 + \frac{1}{\epsilon} \right)$

$= \lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{2}{\epsilon} - 2 \right)$

$\epsilon$が0に近づくと$\frac{2}{\epsilon}$は無限大に発散するため、この広義積分は発散します。

3. 最終的な答え

与えられた積分は発散します。