以下の2つの広義積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

1. 問題の内容

以下の2つの広義積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx$

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

次に、広義積分の定義に従って、積分範囲を有限にして極限を取ります。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^3} dx = \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} \left(-\frac{1}{2t^2} + \frac{1}{2(1)^2}\right)$

$= \lim_{t \to \infty} \left(-\frac{1}{2t^2} + \frac{1}{2}\right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

次に、広義積分の定義に従って、積分範囲を有限にして極限を取ります。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{t \to \infty} \left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} (2\sqrt{t} - 2\sqrt{1})$

$= \lim_{t \to \infty} (2\sqrt{t} - 2) = \infty$

したがって、この広義積分は発散します。

3. 最終的な答え

(1) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx = \frac{1}{2}$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ は発散する。