## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

与えられた4つの2変数関数 $f(x, y)$ について、それぞれの極値を求める問題です。

(1) $f(x, y) = e^{5x+y}(2x+3y)$

(2) $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}$

(3) $f(x, y) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

(4) $f(x, y) = x^2 + 2x - xy^2 + y^2$

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2. 解き方の手順

各関数について、次の手順で極値を求めます。

1. 偏導関数を計算する: $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$ と $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$ を計算します。

2. 停留点を求める: $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす点 $(x, y)$ を求めます。これらが極値の候補となる点（停留点）です。

3. ヘッセ行列（2階偏導関数からなる行列）を計算する: $f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ を計算し、ヘッセ行列 $H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}$ を求めます。

4. ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ を計算する。

5. 極値の判定:

* $D > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ ならば、その停留点は極小値を与えます。

* $D > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ ならば、その停留点は極大値を与えます。

* $D < 0$ ならば、その停留点は鞍点です。

* $D = 0$ ならば、判定できません。

**関数(1): $f(x, y) = e^{5x+y}(2x+3y)$**

1. 偏導関数:

$f_x = e^{5x+y}(2x+3y) \cdot 5 + e^{5x+y} \cdot 2 = e^{5x+y}(10x+15y+2)$

$f_y = e^{5x+y}(2x+3y) \cdot 1 + e^{5x+y} \cdot 3 = e^{5x+y}(2x+3y+3)$

2. 停留点:

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解くと、

$10x+15y+2=0$

$2x+3y+3=0$

これより、$x = \frac{13}{8}$, $y = -\frac{17}{12}$ が得られます。停留点は $(\frac{13}{8}, -\frac{17}{12})$ です。

3. 2階偏導関数：

$f_{xx} = e^{5x+y}(50x+75y+10+10) = e^{5x+y}(50x+75y+20)$

$f_{yy} = e^{5x+y}(2x+3y+3+3) = e^{5x+y}(2x+3y+6)$

$f_{xy} = e^{5x+y}(10x+15y+2+5(2x+3y+3)) = e^{5x+y}(20x+30y+17)$

4. ヘッセ行列式：

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = e^{10x+2y}((50x+75y+20)(2x+3y+6)-(20x+30y+17)^2)$

$(\frac{13}{8}, -\frac{17}{12})$ を代入すると、$D = e^{\frac{65}{4}-\frac{17}{12}}((50*\frac{13}{8}-75*\frac{17}{12}+20)(2*\frac{13}{8}-3*\frac{17}{12}+6)-(20*\frac{13}{8}-30*\frac{17}{12}+17)^2)=e^{\frac{178}{12}}(-18.75*1.25-1.5^2) < 0$

停留点は鞍点

**関数(2): $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}$**

1. 偏導関数:

$f_x = e^{-x^2-y^2}(-2x)$

$f_y = e^{-x^2-y^2}(-2y)$

2. 停留点:

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解くと、 $x = 0$, $y = 0$ より、停留点は $(0, 0)$ です。

3. 2階偏導関数:

$f_{xx} = e^{-x^2-y^2}(-2 + 4x^2)$

$f_{yy} = e^{-x^2-y^2}(-2 + 4y^2)$

$f_{xy} = e^{-x^2-y^2}(4xy)$

4. ヘッセ行列式:

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = e^{-2x^2-2y^2}((-2+4x^2)(-2+4y^2) - 16x^2y^2)$

$D = e^{-2x^2-2y^2}(4 - 8x^2 - 8y^2 + 16x^2y^2 - 16x^2y^2) = e^{-2x^2-2y^2}(4 - 8x^2 - 8y^2)$

5. 極値の判定:

$(0, 0)$ において、$f_{xx} = -2$, $f_{yy} = -2$, $f_{xy} = 0$, $D = 4 > 0$.

$D > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ より、$(0, 0)$ は極大値を与えます。

極大値は $f(0, 0) = e^0 = 1$ です。

**関数(3): $f(x, y) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$**

1. 偏導関数:

$f_x = y - \frac{1}{x^2}$

$f_y = x - \frac{1}{y^2}$

2. 停留点:

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解くと、$y = \frac{1}{x^2}$ かつ $x = \frac{1}{y^2}$.

$x = \frac{1}{(1/x^2)^2} = x^4$ より、$x^3 = 1$, よって $x = 1$.

このとき、$y = \frac{1}{1^2} = 1$.

停留点は $(1, 1)$ です。

3. 2階偏導関数:

$f_{xx} = \frac{2}{x^3}$

$f_{yy} = \frac{2}{y^3}$

$f_{xy} = 1$

4. ヘッセ行列式:

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = \frac{4}{x^3y^3} - 1$

5. 極値の判定:

$(1, 1)$ において、$f_{xx} = 2$, $f_{yy} = 2$, $f_{xy} = 1$, $D = 4 - 1 = 3 > 0$.

$D > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ より、$(1, 1)$ は極小値を与えます。

極小値は $f(1, 1) = 1 \cdot 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3$ です。

**関数(4): $f(x, y) = x^2 + 2x - xy^2 + y^2$**

1. 偏導関数:

$f_x = 2x + 2 - y^2$

$f_y = -2xy + 2y = 2y(1-x)$

2. 停留点:

$f_y = 0$ より、$y = 0$ または $x = 1$.

* $y = 0$ のとき、$f_x = 2x + 2 = 0$ より、$x = -1$. 停留点は $(-1, 0)$.

* $x = 1$ のとき、$f_x = 2(1) + 2 - y^2 = 4 - y^2 = 0$ より、$y = \pm 2$. 停留点は $(1, 2)$ と $(1, -2)$.

よって、停留点は $(-1, 0)$, $(1, 2)$, $(1, -2)$ です。

3. 2階偏導関数:

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = -2x + 2$

$f_{xy} = -2y$

4. ヘッセ行列式:

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2(-2x+2) - 4y^2 = -4x + 4 - 4y^2$

5. 極値の判定:

* $(-1, 0)$: $D = -4(-1) + 4 - 4(0)^2 = 8 > 0$, $f_{xx} = 2 > 0$. 極小値。 $f(-1,0) = (-1)^2+2(-1)-(-1)(0)^2 + 0^2 = 1-2+0+0 = -1$.

* $(1, 2)$: $D = -4(1) + 4 - 4(2)^2 = -16 < 0$. 鞍点。

* $(1, -2)$: $D = -4(1) + 4 - 4(-2)^2 = -16 < 0$. 鞍点。

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3. 最終的な答え

(1) 鞍点 $(\frac{13}{8}, -\frac{17}{12})$

(2) 極大値 $f(0, 0) = 1$

(3) 極小値 $f(1, 1) = 3$

(4) 極小値 $f(-1, 0) = -1$, 鞍点 $(1, 2)$, 鞍点 $(1, -2)$