次の2つの2階線形同次微分方程式の初期値問題を解きます。 (1) $y'' - 3y' - 10y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 7$ (2) $y'' - 4y' + 4y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$

1. 問題の内容

次の2つの2階線形同次微分方程式の初期値問題を解きます。

(1) $y'' - 3y' - 10y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 7$

(2) $y'' - 4y' + 4y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$

2. 解き方の手順

(1) $y'' - 3y' - 10y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 7$

特性方程式は $r^2 - 3r - 10 = 0$ です。

これを因数分解すると、 $(r - 5)(r + 2) = 0$ となり、解は $r_1 = 5$ と $r_2 = -2$ です。

したがって、一般解は $y(x) = c_1e^{5x} + c_2e^{-2x}$ です。

次に、初期条件を適用します。

$y(0) = c_1e^{0} + c_2e^{0} = c_1 + c_2 = 0$

$y'(x) = 5c_1e^{5x} - 2c_2e^{-2x}$

$y'(0) = 5c_1e^{0} - 2c_2e^{0} = 5c_1 - 2c_2 = 7$

$c_1 + c_2 = 0$ より $c_2 = -c_1$ です。

これを $5c_1 - 2c_2 = 7$ に代入すると、 $5c_1 - 2(-c_1) = 7$ となり、$7c_1 = 7$ より $c_1 = 1$ です。

したがって、$c_2 = -1$ です。

したがって、解は $y(x) = e^{5x} - e^{-2x}$ です。

(2) $y'' - 4y' + 4y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$

特性方程式は $r^2 - 4r + 4 = 0$ です。

これを因数分解すると、 $(r - 2)^2 = 0$ となり、解は $r = 2$ (重根) です。

したがって、一般解は $y(x) = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}$ です。

次に、初期条件を適用します。

$y(0) = c_1e^{0} + c_2(0)e^{0} = c_1 = 1$

$y'(x) = 2c_1e^{2x} + c_2e^{2x} + 2c_2xe^{2x}$

$y'(0) = 2c_1e^{0} + c_2e^{0} + 2c_2(0)e^{0} = 2c_1 + c_2 = 0$

$c_1 = 1$ より $2(1) + c_2 = 0$ となり、$c_2 = -2$ です。

したがって、解は $y(x) = e^{2x} - 2xe^{2x}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y(x) = e^{5x} - e^{-2x}$

(2) $y(x) = e^{2x} - 2xe^{2x}$