区間 $a \le x \le b$ 上の関数 $f(x) = 3x^2$ について、それが可積分であることを確認し、その積分値を計算する。以下の小問に答える。 (1) 関数 $f(x) = 3x^2$ がある条件から可積分であることを述べる。 (2) 区間 $a \le x \le b$ を $n$ 等分割し、右端点を代表点とする点付き分割 $\left( (x_i)_{i=0}^n, (\xi_i)_{i=1}^n \right)$ について、$x_i$, $\xi_i$, $x_i - x_{i-1}$ をそれぞれ求める。 (3) (2) の結果に対するリーマン和を具体的に記述する。 (4) (3) の結果について、$\vert \Delta \vert \to 0$ すなわち $n \to \infty$ の極限を計算し、$ \int_a^b 3x^2 dx$ を求める。

## 問4

1. 問題の内容

区間 $a \le x \le b$ 上の関数 $f(x) = 3x^2$ について、それが可積分であることを確認し、その積分値を計算する。以下の小問に答える。

(1) 関数 $f(x) = 3x^2$ がある条件から可積分であることを述べる。

(2) 区間 $a \le x \le b$ を $n$ 等分割し、右端点を代表点とする点付き分割 $\left( (x_i)_{i=0}^n, (\xi_i)_{i=1}^n \right)$ について、$x_i$, $\xi_i$, $x_i - x_{i-1}$ をそれぞれ求める。

(3) (2) の結果に対するリーマン和を具体的に記述する。

(4) (3) の結果について、$\vert \Delta \vert \to 0$ すなわち $n \to \infty$ の極限を計算し、$\int_a^b 3x^2 dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = 3x^2$ は連続関数であるため、有界閉区間 $a \le x \le b$ 上で可積分である。

(2) 区間 $[a, b]$ の $n$ 等分割における $x_i$ は、

$x_i = a + i \frac{b-a}{n}$

で与えられる。ここで、$i = 0, 1, \dots, n$ である。

右端点を代表点とするので、$\xi_i = x_i = a + i \frac{b-a}{n}$ となる。ここで、$i = 1, 2, \dots, n$ である。

区間の幅は $x_i - x_{i-1} = \frac{b-a}{n}$ である。

(3) リーマン和は、

$S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})$

で与えられる。

$f(x) = 3x^2$ であり、$\xi_i = a + i \frac{b-a}{n}$、$x_i - x_{i-1} = \frac{b-a}{n}$ を代入すると、

$S_n = \sum_{i=1}^n 3 \left( a + i \frac{b-a}{n} \right)^2 \frac{b-a}{n}$

$= \frac{3(b-a)}{n} \sum_{i=1}^n \left( a^2 + 2a i \frac{b-a}{n} + i^2 \left( \frac{b-a}{n} \right)^2 \right)$

$= \frac{3(b-a)}{n} \left[ \sum_{i=1}^n a^2 + \frac{2a(b-a)}{n} \sum_{i=1}^n i + \frac{(b-a)^2}{n^2} \sum_{i=1}^n i^2 \right]$

$= \frac{3(b-a)}{n} \left[ n a^2 + \frac{2a(b-a)}{n} \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(b-a)^2}{n^2} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]$

$= 3(b-a) \left[ a^2 + \frac{a(b-a)(n+1)}{n} + \frac{(b-a)^2 (n+1)(2n+1)}{6n^2} \right]$

(4) $n \to \infty$ の極限を取る。

$\int_a^b 3x^2 dx = \lim_{n \to \infty} S_n$

$= \lim_{n \to \infty} 3(b-a) \left[ a^2 + \frac{a(b-a)(n+1)}{n} + \frac{(b-a)^2 (n+1)(2n+1)}{6n^2} \right]$

$= 3(b-a) \left[ a^2 + a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{3} \right]$

$= 3(b-a) \left[ a^2 + ab - a^2 + \frac{b^2 - 2ab + a^2}{3} \right]$

$= 3(b-a) \left[ ab + \frac{b^2}{3} - \frac{2ab}{3} + \frac{a^2}{3} \right]$

$= 3(b-a) \left[ \frac{ab}{3} + \frac{b^2}{3} + \frac{a^2}{3} \right]$

$= b^3 - a^3$

3. 最終的な答え

$\int_a^b 3x^2 dx = b^3 - a^3$

## 問5

1. 問題の内容

区間 $a \le x \le b$ 上の関数 $f(x) = e^x$ について、それが可積分であることを確認し、その積分値を計算する。以下の小問に答える。

(1) 関数 $f(x) = e^x$ がある条件から可積分であることを述べる。

(2) 区間 $a \le x \le b$ を $n$ 等分割し、左端点を代表点とする点付き分割 $\left( (x_i)_{i=0}^n, (\xi_i)_{i=1}^n \right)$ について、$x_i$, $\xi_i$, $x_i - x_{i-1}$ をそれぞれ求める。

(3) (2) の結果に対するリーマン和を具体的に記述する。

(4) (3) の結果について、$\vert \Delta \vert \to 0$ すなわち $n \to \infty$ の極限を計算し、$\int_a^b e^x dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = e^x$ は連続関数であるため、有界閉区間 $a \le x \le b$ 上で可積分である。

(2) 区間 $[a, b]$ の $n$ 等分割における $x_i$ は、

$x_i = a + i \frac{b-a}{n}$

で与えられる。ここで、$i = 0, 1, \dots, n$ である。

左端点を代表点とするので、$\xi_i = x_{i-1} = a + (i-1) \frac{b-a}{n}$ となる。ここで、$i = 1, 2, \dots, n$ である。

区間の幅は $x_i - x_{i-1} = \frac{b-a}{n}$ である。

(3) リーマン和は、

$S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})$

で与えられる。

$f(x) = e^x$ であり、$\xi_i = a + (i-1) \frac{b-a}{n}$、$x_i - x_{i-1} = \frac{b-a}{n}$ を代入すると、

$S_n = \sum_{i=1}^n e^{a + (i-1) \frac{b-a}{n}} \frac{b-a}{n}$

$= \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n e^a e^{(i-1) \frac{b-a}{n}}$

$= \frac{e^a (b-a)}{n} \sum_{i=1}^n \left( e^{\frac{b-a}{n}} \right)^{i-1}$

(4) 等比数列の和の公式を用いる。

$\sum_{i=1}^n r^{i-1} = \frac{r^n - 1}{r - 1}$

$S_n = \frac{e^a (b-a)}{n} \frac{ \left( e^{\frac{b-a}{n}} \right)^n - 1 }{e^{\frac{b-a}{n}} - 1}$

$= \frac{e^a (b-a)}{n} \frac{ e^{b-a} - 1 }{e^{\frac{b-a}{n}} - 1}$

$= e^a (e^{b-a} - 1) \frac{\frac{b-a}{n}}{e^{\frac{b-a}{n}} - 1}$

$n \to \infty$ の極限を取る。

$\int_a^b e^x dx = \lim_{n \to \infty} S_n$

$= \lim_{n \to \infty} e^a (e^{b-a} - 1) \frac{\frac{b-a}{n}}{e^{\frac{b-a}{n}} - 1}$

ここで、$h = \frac{b-a}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $h \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{b-a}{n}}{e^{\frac{b-a}{n}} - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{e^h - 1} = 1$

したがって、

$\int_a^b e^x dx = e^a (e^{b-a} - 1) \cdot 1 = e^a e^{b-a} - e^a = e^b - e^a$

3. 最終的な答え

$\int_a^b e^x dx = e^b - e^a$