区間 $a \le x \le b$ 上の関数 $f(x) = e^x$ が可積分であることを確認し、その積分値を計算する。具体的には、以下の小問に答える。 (1) 関数 $f(x) = e^x$ がある条件から可積分であることを述べる。 (2) 区間 $[a, b]$ の $n$ 等分割における $x_i$, $\xi_i$, $x_i - x_{i-1}$ を求める。ここで、$\xi_i$ は小区間 $[x_{i-1}, x_i]$ の左端点とする。 (3) (2) の結果に対するリーマン和を具体的に記述する。 (4) (3) の結果について、$|\Delta| \to 0$ すなわち $n \to \infty$ の極限を計算し、$\int_a^b e^x dx$ を求める。

1. 問題の内容

区間 $a \le x \le b$ 上の関数 $f(x) = e^x$ が可積分であることを確認し、その積分値を計算する。具体的には、以下の小問に答える。

(1) 関数 $f(x) = e^x$ がある条件から可積分であることを述べる。

(2) 区間 $[a, b]$ の $n$ 等分割における $x_i$, $\xi_i$, $x_i - x_{i-1}$ を求める。ここで、$\xi_i$ は小区間 $[x_{i-1}, x_i]$ の左端点とする。

(3) (2) の結果に対するリーマン和を具体的に記述する。

(4) (3) の結果について、$|\Delta| \to 0$ すなわち $n \to \infty$ の極限を計算し、$\int_a^b e^x dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = e^x$ は連続関数である。有界閉区間 $[a, b]$ 上の連続関数は可積分であるから、$e^x$ は区間 $[a, b]$ で可積分である。

(2) 区間 $[a, b]$ の $n$ 等分割における $x_i$ は、

$x_i = a + i \frac{b-a}{n}$ で与えられる。ここで $i = 0, 1, 2, \dots, n$ である。

左端点を代表点とするので $\xi_i = x_{i-1} = a + (i-1) \frac{b-a}{n}$ である。ここで $i = 1, 2, \dots, n$ である。

$x_i - x_{i-1} = (a + i \frac{b-a}{n}) - (a + (i-1) \frac{b-a}{n}) = \frac{b-a}{n}$ である。

(3) リーマン和は

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n e^{\xi_i} (x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n e^{a + (i-1)\frac{b-a}{n}} \frac{b-a}{n} = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n e^{a + (i-1)\frac{b-a}{n}} = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n e^a \left(e^{\frac{b-a}{n}}\right)^{i-1} = \frac{(b-a)e^a}{n} \sum_{i=1}^n \left(e^{\frac{b-a}{n}}\right)^{i-1}$

等比数列の和の公式 $\sum_{i=1}^n r^{i-1} = \frac{r^n - 1}{r - 1}$ を用いると、

$\sum_{i=1}^n \left(e^{\frac{b-a}{n}}\right)^{i-1} = \frac{\left(e^{\frac{b-a}{n}}\right)^n - 1}{e^{\frac{b-a}{n}} - 1} = \frac{e^{b-a} - 1}{e^{\frac{b-a}{n}} - 1}$

したがって、リーマン和は

$\frac{(b-a)e^a}{n} \frac{e^{b-a} - 1}{e^{\frac{b-a}{n}} - 1} = (e^{b-a} - 1) e^a \frac{\frac{b-a}{n}}{e^{\frac{b-a}{n}} - 1}$

(4) $n \to \infty$ の極限を計算する。

$h = \frac{b-a}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $h \to 0$ である。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{b-a}{n}}{e^{\frac{b-a}{n}} - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{e^h - 1} = \frac{1}{\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}} = \frac{1}{1} = 1$

したがって、$\int_a^b e^x dx = (e^{b-a} - 1) e^a \cdot 1 = e^b - e^a$

3. 最終的な答え

(1) $f(x)=e^x$ は連続関数なので可積分である。

(2) $x_i = a + i \frac{b-a}{n}$, $\xi_i = a + (i-1) \frac{b-a}{n}$, $x_i - x_{i-1} = \frac{b-a}{n}$

(3) $\frac{(b-a)e^a}{n} \frac{e^{b-a} - 1}{e^{\frac{b-a}{n}} - 1}$

(4) $\int_a^b e^x dx = e^b - e^a$