半径 $a$ の球の表面積が $4\pi a^2$ で与えられることを、球の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて示す。

1. 問題の内容

半径 $a$ の球の表面積が $4\pi a^2$ で与えられることを、球の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて示す。

2. 解き方の手順

まず、球の方程式を $z$ について解く。

$z^2 = a^2 - x^2 - y^2$

$z = \pm \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$

ここで、球の表面積を求めるために、面積要素 $dS$ を計算する。

$dS = \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} \, dx \, dy$

$z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ (上半球)の場合を考える。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}$

$(\frac{\partial z}{\partial x})^2 = \frac{x^2}{a^2 - x^2 - y^2}$

$(\frac{\partial z}{\partial y})^2 = \frac{y^2}{a^2 - x^2 - y^2}$

$1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 = 1 + \frac{x^2}{a^2 - x^2 - y^2} + \frac{y^2}{a^2 - x^2 - y^2} = \frac{a^2 - x^2 - y^2 + x^2 + y^2}{a^2 - x^2 - y^2} = \frac{a^2}{a^2 - x^2 - y^2}$

したがって、

$dS = \sqrt{\frac{a^2}{a^2 - x^2 - y^2}} \, dx \, dy = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \, dx \, dy$

球の表面積 $S$ は、上半球と下半球の面積を足し合わせたものなので、上半球の面積を2倍すればよい。

$S = 2 \iint_{x^2 + y^2 \leq a^2} \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \, dx \, dy$

ここで、極座標変換を行う。

$x = r \cos\theta$

$y = r \sin\theta$

$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$

$x^2 + y^2 = r^2$

$S = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \frac{a}{\sqrt{a^2 - r^2}} r \, dr \, d\theta$

$u = a^2 - r^2$ と置換すると、$du = -2r \, dr$ なので、$r \, dr = -\frac{1}{2} du$

$r = 0$ のとき $u = a^2$

$r = a$ のとき $u = 0$

$S = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{a^2}^{0} \frac{a}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{2}) \, du \, d\theta = a \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a^2} \frac{1}{\sqrt{u}} \, du \, d\theta = a \int_{0}^{2\pi} [2\sqrt{u}]_{0}^{a^2} \, d\theta = a \int_{0}^{2\pi} 2a \, d\theta = 2a^2 \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2a^2 [ \theta ]_{0}^{2\pi} = 2a^2 (2\pi) = 4\pi a^2$

3. 最終的な答え

球の表面積は $4\pi a^2$ である。