半径 $a$ の球の表面積が $4\pi a^2$ で与えられることを、球面の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて示す問題です。

1. 問題の内容

半径 $a$ の球の表面積が $4\pi a^2$ で与えられることを、球面の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、球面の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を球面座標で表現します。

球面座標は、

$x = a\sin\theta \cos\phi$

$y = a\sin\theta \sin\phi$

$z = a\cos\theta$

と表されます。ここで、$0 \leq \theta \leq \pi$、$0 \leq \phi \leq 2\pi$ です。

次に、面積素 $dS$ を計算します。面積素は、

$dS = \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} \right| d\theta d\phi$

で与えられます。ここで、$\vec{r} = (x, y, z)$ です。

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = (a\cos\theta \cos\phi, a\cos\theta \sin\phi, -a\sin\theta)$

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = (-a\sin\theta \sin\phi, a\sin\theta \cos\phi, 0)$

外積を計算すると、

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = (a^2\sin^2\theta \cos\phi, a^2\sin^2\theta \sin\phi, a^2\sin\theta\cos\theta)$

絶対値を計算すると、

$\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} \right| = \sqrt{(a^2\sin^2\theta \cos\phi)^2 + (a^2\sin^2\theta \sin\phi)^2 + (a^2\sin\theta\cos\theta)^2}$

$= \sqrt{a^4\sin^4\theta(\cos^2\phi + \sin^2\phi) + a^4\sin^2\theta\cos^2\theta}$

$= \sqrt{a^4\sin^4\theta + a^4\sin^2\theta\cos^2\theta}$

$= \sqrt{a^4\sin^2\theta(\sin^2\theta + \cos^2\theta)}$

$= \sqrt{a^4\sin^2\theta}$

$= a^2\sin\theta$

したがって、面積素は $dS = a^2\sin\theta d\theta d\phi$ となります。

最後に、球の表面積を計算します。

$S = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} dS = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} a^2\sin\theta d\theta d\phi$

$= a^2 \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta$

$= a^2 \left[ \phi \right]_{0}^{2\pi} \left[ -\cos\theta \right]_{0}^{\pi}$

$= a^2 (2\pi - 0) (-\cos\pi - (-\cos 0))$

$= a^2 (2\pi) (-(-1) - (-1))$

$= a^2 (2\pi) (1+1)$

$= a^2 (2\pi) (2)$

$= 4\pi a^2$

3. 最終的な答え

球の表面積は $4\pi a^2$ である。