半径 $a$ の球の表面積が $4\pi a^2$ で与えられることを、球の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて面積要素 $dS$ を計算することで示す。

1. 問題の内容

半径 $a$ の球の表面積が $4\pi a^2$ で与えられることを、球の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて面積要素 $dS$ を計算することで示す。

2. 解き方の手順

まず、球の方程式を $z$ について解きます。

$z = \pm\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$

ここで、$z > 0$ の上半球を考え、後で結果を2倍することを考えます。

次に、面積要素 $dS$ を求めます。一般に、$z=f(x,y)$ で表される曲面の面積要素は次の式で与えられます。

$dS = \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} dx dy$

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} = \frac{-y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}$

次に、これらの偏微分を面積要素の式に代入します。

$dS = \sqrt{1 + \frac{x^2}{a^2 - x^2 - y^2} + \frac{y^2}{a^2 - x^2 - y^2}} dx dy$

$dS = \sqrt{\frac{a^2 - x^2 - y^2 + x^2 + y^2}{a^2 - x^2 - y^2}} dx dy$

$dS = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} dx dy$

次に、表面積を計算するために積分を行います。積分範囲は、$x^2 + y^2 \le a^2$ となる円板です。極座標 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、$dxdy = rdrd\theta$ となり、積分範囲は $0 \le r \le a$, $0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

$S = \iint dS = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \frac{a}{\sqrt{a^2 - r^2}} r dr d\theta$

$u = a^2 - r^2$ と置換すると、$du = -2r dr$ となり、$rdr = -\frac{1}{2}du$ です。$r=0$ のとき $u = a^2$、$r=a$ のとき $u = 0$ となります。

$S = \int_{0}^{2\pi} \int_{a^2}^{0} \frac{a}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{2}) du d\theta$

$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{a}{2} \int_{0}^{a^2} u^{-1/2} du d\theta$

$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{a}{2} [2\sqrt{u}]_{0}^{a^2} d\theta$

$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{a}{2} (2a) d\theta$

$S = a^2 \int_{0}^{2\pi} d\theta$

$S = a^2 [ \theta ]_{0}^{2\pi}$

$S = 2\pi a^2$

これは上半球の表面積なので、球全体の表面積を求めるためには、この値を2倍する必要があります。

$S_{total} = 2(2\pi a^2) = 4\pi a^2$

3. 最終的な答え

$4\pi a^2$