$\sqrt{\frac{L80}{n}}$ が自然数になるような自然数 $n$ のうち、最も小さい値を求めなさい。ここで、$L80$ はおそらく$180$ の誤記です。$180$として問題を解きます。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{L80}{n}}$ が自然数になるような自然数 $n$ のうち、最も小さい値を求めなさい。ここで、$L80$ はおそらく$180$ の誤記です。$180$として問題を解きます。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{180}{n}}$ が自然数になるためには、$\frac{180}{n}$ がある自然数の二乗にならなければなりません。

まず、$180$ を素因数分解します。

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

$\frac{180}{n} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 5}{n}$ がある自然数の二乗になるためには、分母 $n$ が分子の素因数のうち、奇数乗になっているものを解消する必要があります。 今回の場合、$5$ が奇数乗なので、$n$ は $5$ の倍数でなければなりません。

$n$ が最小になるためには、$\frac{180}{n}$ ができるだけ大きい自然数の二乗になれば良いです。

$n=5$ のとき、$\frac{180}{5} = 36 = 6^2$となり、$\sqrt{36}=6$ となり、自然数となります。

3. 最終的な答え

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