3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が $x=2$ と $x=3$ を解にもつとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が $x=2$ と $x=3$ を解にもつとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式に $x=2$ と $x=3$ を代入して、 $a$ と $b$ に関する連立方程式を立てます。

$x=2$ を代入すると、

$2^3 + a(2^2) + b(2) + 24 = 0$

$8 + 4a + 2b + 24 = 0$

$4a + 2b + 32 = 0$

$2a + b + 16 = 0$ (1)

$x=3$ を代入すると、

$3^3 + a(3^2) + b(3) + 24 = 0$

$27 + 9a + 3b + 24 = 0$

$9a + 3b + 51 = 0$

$3a + b + 17 = 0$ (2)

(2) - (1) より

$(3a + b + 17) - (2a + b + 16) = 0$

$a + 1 = 0$

$a = -1$

$a = -1$ を (1) に代入すると、

$2(-1) + b + 16 = 0$

$-2 + b + 16 = 0$

$b + 14 = 0$

$b = -14$

したがって、$a = -1$ , $b = -14$ です。

与えられた方程式は $x^3 - x^2 - 14x + 24 = 0$ となります。

$x=2$ と $x=3$ が解なので、$(x-2)(x-3)$ で割り切れるはずです。

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$

$x^3 - x^2 - 14x + 24$ を $x^2 - 5x + 6$ で割ると、$x+4$ となります。

したがって、$x^3 - x^2 - 14x + 24 = (x-2)(x-3)(x+4) = 0$

解は $x=2, 3, -4$ となります。

他の解は $x = -4$ です。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -14$

他の解: $-4$