(1) $\sqrt{140a}$ が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最小のものを求める。 (2) $\sqrt{270x}$ が自然数となるような自然数 $x$ のうち、最小のものを求める。 (3) $\sqrt[n]{378}$ が2以上の自然数となるような自然数 $n$ のうち、最大のものを求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{140a}$ が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最小のものを求める。

(2) $\sqrt{270x}$ が自然数となるような自然数 $x$ のうち、最小のものを求める。

(3) $\sqrt[n]{378}$ が2以上の自然数となるような自然数 $n$ のうち、最大のものを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{140a}$ が自然数となるためには、140aが平方数（ある自然数の2乗）である必要があります。

まず、140を素因数分解します。

$140 = 2^2 \times 5 \times 7$

$a$ を掛けて平方数にするためには、$a$ は少なくとも5と7を素因数に持つ必要があります。

したがって、$a = 5 \times 7 = 35$ が最小の自然数です。

(2) $\sqrt{270x}$ が自然数となるためには、270xが平方数である必要があります。

まず、270を素因数分解します。

$270 = 2 \times 3^3 \times 5$

$x$ を掛けて平方数にするためには、$x$ は少なくとも2, 3, 5を素因数に持つ必要があります。

したがって、$x = 2 \times 3 \times 5 = 30$ が最小の自然数です。

(3) $\sqrt[n]{378}$ が2以上の自然数となるような $n$ の最大値を求めます。

まず、378を素因数分解します。

$378 = 2 \times 3^3 \times 7$

$\sqrt[n]{378} = (2 \times 3^3 \times 7)^{\frac{1}{n}}$

$\sqrt[n]{378}$ が自然数になるためには、$\frac{1}{n}$ が $2 \times 3^3 \times 7$ の素因数分解の指数の最大公約数の約数である必要があります。

この場合、指数の最大公約数は1なので、$n$ は1です。

しかし、$n$ は2以上という条件があるので、$378$の約数を考えます。

$\sqrt{378} = \sqrt{2 \times 3^3 \times 7}$ は整数ではない。

$\sqrt[3]{378} = \sqrt[3]{2 \times 3^3 \times 7} = 3 \times \sqrt[3]{2 \times 7} = 3 \times \sqrt[3]{14}$ これは整数ではない。

しかし、問題文を注意深く読むと、$\sqrt[n]{378}$が2以上の自然数となればよいので、整数にならなくても良い。

$1^n = 1 < 2$ なので、1以外の自然数を考える

$n=2$の時、$\sqrt{378} \fallingdotseq 19.44$ なので条件を満たさない

$n=3$の時、$\sqrt[3]{378} \fallingdotseq 7.23$ なので条件を満たさない

$n=4$の時、$\sqrt[4]{378} \fallingdotseq 4.42$ なので条件を満たさない

$n=5$の時、$\sqrt[5]{378} \fallingdotseq 3.28$ なので条件を満たさない

$n=6$の時、$\sqrt[6]{378} \fallingdotseq 2.68$ なので条件を満たさない

$n=7$の時、$\sqrt[7]{378} \fallingdotseq 2.34$ なので条件を満たさない

$n=8$の時、$\sqrt[8]{378} \fallingdotseq 2.12$ なので条件を満たさない

$n=9$の時、$\sqrt[9]{378} \fallingdotseq 1.97$ なので条件を満たさない

よって、$\sqrt[n]{378} \geq 2$ を満たす最大のnは8となる

3. 最終的な答え

(1) 35

(2) 30

(3) 8