6000から9999までの整数で、4つの数字が全て異なる偶数について考える。 (1) 千の位の数字が奇数のとき (2) 千の位の数字が偶数のとき それぞれのパターンについて、場合の数を求める。

1. 問題の内容

6000から9999までの整数で、4つの数字が全て異なる偶数について考える。

(1) 千の位の数字が奇数のとき

(2) 千の位の数字が偶数のとき

それぞれのパターンについて、場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 千の位の数字が奇数のとき：

- 千の位：7か9の2通り

- 一の位：偶数（0, 2, 4, 6, 8）だが、千の位で使った数字は使えない。

- 百の位、十の位：残った数字から選ぶ。

千の位が7の場合:

- 千の位：7 (1通り)

- 一の位：0, 2, 4, 6, 8 のいずれか (5通り)。

- 百の位：残りの数字から1つ選ぶ (10 - 2 = 8通り)。

- 十の位：残りの数字から1つ選ぶ (10 - 3 = 7通り)。

- この場合の数は、 $1 \times 5 \times 8 \times 7 = 280$通り。

千の位が9の場合:

- 千の位：9 (1通り)

- 一の位：0, 2, 4, 6, 8 のいずれか (5通り)。

- 百の位：残りの数字から1つ選ぶ (10 - 2 = 8通り)。

- 十の位：残りの数字から1つ選ぶ (10 - 3 = 7通り)。

- この場合の数は、 $1 \times 5 \times 8 \times 7 = 280$通り。

したがって、千の位が奇数の場合は、 $280 + 280 = 560$通り。

(2) 千の位の数字が偶数のとき：

- 千の位：6か8の2通り

- 一の位：偶数（0, 2, 4, 6, 8）だが、千の位で使った数字は使えない。

- 百の位、十の位：残った数字から選ぶ。

千の位が6の場合:

- 千の位：6 (1通り)

- 一の位：0, 2, 4, 8 のいずれか (5-1 = 4通り)。

- 百の位：残りの数字から1つ選ぶ (10 - 2 = 8通り)。

- 十の位：残りの数字から1つ選ぶ (10 - 3 = 7通り)。

- この場合の数は、$1 \times 4 \times 8 \times 7 = 224$通り。

千の位が8の場合:

- 千の位：8 (1通り)

- 一の位：0, 2, 4, 6 のいずれか (5-1 = 4通り)。

- 百の位：残りの数字から1つ選ぶ (10 - 2 = 8通り)。

- 十の位：残りの数字から1つ選ぶ (10 - 3 = 7通り)。

- この場合の数は、$1 \times 4 \times 8 \times 7 = 224$通り。

したがって、千の位が偶数の場合は、 $224 + 224 = 448$通り。

3. 最終的な答え

(1) 560通り

(2) 448通り