6人を指定された人数でグループに分ける方法の数を求める問題です。 (1) 3人、2人、1人の3グループに分ける。 (2) 3人と3人の2グループに分ける。 (3) 2人ずつ3グループに分ける。

1. 問題の内容

6人を指定された人数でグループに分ける方法の数を求める問題です。

(1) 3人、2人、1人の3グループに分ける。

(2) 3人と3人の2グループに分ける。

(3) 2人ずつ3グループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) まず、6人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_6C_3$ で表されます。次に、残りの3人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_3C_2$ で表されます。最後に、残りの1人を選ぶ組み合わせは $_1C_1 = 1$ です。これらの組み合わせを掛け合わせます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

$_1C_1 = 1$

したがって、求める場合の数は $20 \times 3 \times 1 = 60$ 通りです。

(2) 6人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_6C_3$ で表されます。次に、残りの3人を選ぶ組み合わせは $_3C_3 = 1$ です。ただし、2つのグループは区別しないので、計算結果を2!で割る必要があります。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$_3C_3 = 1$

$\frac{20 \times 1}{2!} = \frac{20}{2} = 10$

したがって、求める場合の数は $10$ 通りです。

(3) 6人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_6C_2$ で表されます。次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_4C_2$ で表されます。最後に、残りの2人を選ぶ組み合わせは $_2C_2 = 1$ です。ただし、3つのグループは区別しないので、計算結果を3!で割る必要があります。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_2C_2 = 1$

$\frac{15 \times 6 \times 1}{3!} = \frac{90}{6} = 15$

したがって、求める場合の数は $15$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 10通り

(3) 15通り