問題は、集合、場合の数、順列・組み合わせなどに関する10個の小問から構成されています。具体的には、集合の要素の個数を求めたり、さいころの目の出方、人の選び方、正の約数の総和、果物の買い方、文字列の作り方など、様々な場合の数を計算する問題です。

1. 問題の内容

問題は、集合、場合の数、順列・組み合わせなどに関する10個の小問から構成されています。具体的には、集合の要素の個数を求めたり、さいころの目の出方、人の選び方、正の約数の総和、果物の買い方、文字列の作り方など、様々な場合の数を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 大中小の3個のさいころを投げるとき、目の大きさが大中小の順に小さくなる場合の数を求めます。

3つのさいころの目が全て異なる必要があります。1から6までの6個の数字の中から、異なる3つの数字を選ぶ組み合わせを考えます。

これは $_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6\times5\times4}{3\times2\times1} = 20$通りです。

(2) 1個のさいころを2回投げるとき、目の和が10以上になる場合の数を求めます。

1回目と2回目の目をそれぞれx, yとすると、$x + y \ge 10$となる組み合わせを数えます。

- $x=4$のとき、$y=6$

- $x=5$のとき、$y=5, 6$

- $x=6$のとき、$y=4, 5, 6$

したがって、$1 + 2 + 3 = 6$通りです。

(3) $(a+b-c)(d+e+f-g)$を展開すると、項は何個できるかを求めます。

1つ目の括弧には3つの項があり、2つ目の括弧には4つの項があります。展開すると、$3 \times 4 = 12$個の項ができます。

(4) 10人の部員の中から、兼任を認めないで、部長、副部長、会計、書記を各1人選ぶとき、選び方は何通りあるかを求めます。

これは10人から4人を選んで並べる順列の問題なので、$_{10}P_4 = \frac{10!}{(10-4)!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$通りです。

(5) 8人が輪の形に並ぶとき、並び方は何通りあるかを求めます。

円順列なので、$(8-1)! = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$通りです。

(6) 4人が1回じゃんけんをするとき、手の出し方は何通りあるかを求めます。

各人がグー、チョキ、パーの3通りの手を出すことができるので、$3^4 = 81$通りです。

(7) 144の正の約数の総和を求めます。

$144 = 2^4 \times 3^2$なので、約数の総和は $(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4)(1 + 3 + 3^2) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16)(1 + 3 + 9) = 31 \times 13 = 403$です。

(8) 12枚の異なるカードの中から10枚選ぶ選び方は何通りあるかを求めます。

これは12枚から10枚を選ぶ組み合わせなので、$_{12}C_{10} = \frac{12!}{10!2!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$通りです。

(9) ぶどう、もも、みかん、なしの4種類の果物の中から5個の果物を買うとき、何通りの買い方があるかを求めます。ただし、含まれない果物があってもよい。

これは重複組み合わせの問題なので、$_4H_5 = _{4+5-1}C_5 = _8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通りです。

(10) KOYOKOKOの8文字をすべて使って文字列を作るとき、文字列は何個作れるかを求めます。

同じ文字がいくつかあるので、順列の公式を使います。Oが3個、Kが2個、Yが1個です。

$\frac{8!}{3!2!1!1!1!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 3360$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 20通り

(2) 6通り

(3) 12個

(4) 5040通り

(5) 5040通り

(6) 81通り

(7) 403

(8) 66通り

(9) 56通り

(10) 3360通り