12人を指定された人数でグループ分けする方法の数を求める問題です。 (1) A, B, Cの3つの組に、4人ずつ分ける。 (2) 4人ずつの3つのグループに分ける。 (3) 5人, 4人, 3人の3つのグループに分ける。 (4) 6人, 3人, 3人の3つのグループに分ける。

1. 問題の内容

12人を指定された人数でグループ分けする方法の数を求める問題です。

(1) A, B, Cの3つの組に、4人ずつ分ける。

(2) 4人ずつの3つのグループに分ける。

(3) 5人, 4人, 3人の3つのグループに分ける。

(4) 6人, 3人, 3人の3つのグループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cの3つの組に、4人ずつ分ける場合

まず、12人からAの組に入れる4人を選ぶ組み合わせは$_{12}C_4$通り。

次に、残った8人からBの組に入れる4人を選ぶ組み合わせは$_{8}C_4$通り。

最後に、残った4人がCの組に入るので、組み合わせは$_{4}C_4 = 1$通り。

したがって、組み合わせの総数は、

$_{12}C_4 \times _{8}C_4 \times _{4}C_4 = \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{4!4!4!} = 34650$通り

(2) 4人ずつの3つのグループに分ける場合

まず、12人から4人を選ぶ組み合わせは$_{12}C_4$通り。

次に、残りの8人から4人を選ぶ組み合わせは$_{8}C_4$通り。

最後に、残りの4人から4人を選ぶ組み合わせは$_{4}C_4=1$通り。

しかし、この場合はグループに名前がないので、4人ずつの3つのグループの区別がないため、3!で割る必要があります。

したがって、組み合わせの総数は、

$\frac{_{12}C_4 \times _{8}C_4 \times _{4}C_4}{3!} = \frac{12!}{4!4!4!3!} = \frac{34650}{6} = 5775$通り

(3) 5人, 4人, 3人の3つのグループに分ける場合

まず、12人から5人を選ぶ組み合わせは$_{12}C_5$通り。

次に、残りの7人から4人を選ぶ組み合わせは$_{7}C_4$通り。

最後に、残りの3人から3人を選ぶ組み合わせは$_{3}C_3 = 1$通り。

したがって、組み合わせの総数は、

$_{12}C_5 \times _{7}C_4 \times _{3}C_3 = \frac{12!}{5!7!} \times \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{12!}{5!4!3!} = 27720$通り

(4) 6人, 3人, 3人の3つのグループに分ける場合

まず、12人から6人を選ぶ組み合わせは$_{12}C_6$通り。

次に、残りの6人から3人を選ぶ組み合わせは$_{6}C_3$通り。

最後に、残りの3人から3人を選ぶ組み合わせは$_{3}C_3 = 1$通り。

この場合は、3人のグループが2つあるので、グループの区別をなくすために2!で割る必要があります。

したがって、組み合わせの総数は、

$\frac{_{12}C_6 \times _{6}C_3 \times _{3}C_3}{2!} = \frac{12!}{6!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} \times \frac{1}{2!} = \frac{12!}{6!3!3!2!} = \frac{924 \times 20 \times 1}{2} = 9240$通り

3. 最終的な答え

(1) 34650通り

(2) 5775通り

(3) 27720通り

(4) 9240通り