順列 $nP_r$ の値を求める問題です。具体的には以下の値を計算します。 (1) $6P_3$ (2) $5P_1$ (3) $9P_6$ (4) $4P_4$ (5) $5!$ (6) $7!$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

**問題38**

1. 問題の内容

順列 $nP_r$ の値を求める問題です。具体的には以下の値を計算します。

(1) $6P_3$

(2) $5P_1$

(3) $9P_6$

(4) $4P_4$

(5) $5!$

(6) $7!$

2. 解き方の手順

順列の公式 $nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ および階乗の定義 $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$ を用いて計算します。

(1) $6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$

(2) $5P_1 = \frac{5!}{(5-1)!} = \frac{5!}{4!} = 5$

(3) $9P_6 = \frac{9!}{(9-6)!} = \frac{9!}{3!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 60480$

(4) $4P_4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{0!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

(5) $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(6) $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

3. 最終的な答え

(1) $6P_3 = 120$

(2) $5P_1 = 5$

(3) $9P_6 = 60480$

(4) $4P_4 = 24$

(5) $5! = 120$

(6) $7! = 5040$

**問題39**

1. 問題の内容

並び方の総数を求める問題です。

(1) 5個の文字 a, b, c, d, e から異なる3個を選んで1列に並べるときの並べ方

(2) "triangle"の8文字すべてを1列に並べるときの並べ方

2. 解き方の手順

(1) 異なる5個の文字から3個を選んで並べる順列の問題なので、$5P_3$ を計算します。

$5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

(2) "triangle"の8文字を並べる順列ですが、同じ文字がないので、8! を計算します。

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 40320通り

**問題40**

1. 問題の内容

(1) 25人の生徒の中から、議長、副議長、書記を各1人選ぶ選び方

(2) 番号のついた7つの座席に5人が座る方法

2. 解き方の手順

(1) 25人から3人を選んで役職を割り当てる順列の問題なので、$25P_3$ を計算します。

$25P_3 = 25 \times 24 \times 23 = 13800$

(2) 7つの座席から5つの座席を選び、5人が座る順列の問題なので、$7P_5$を計算します。

$7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$

3. 最終的な答え

(1) 13800通り

(2) 2520通り

**問題41**

1. 問題の内容

(1) 異なる8個の玉を円形に並べるときの並べ方

(2) 9か国の首相が円卓会議を行うときの着席の方法

2. 解き方の手順

(1) 円順列の問題なので、(8-1)! を計算します。

$(8-1)! = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(2) 円順列の問題なので、(9-1)! を計算します。

$(9-1)! = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) 40320通り

**問題42**

1. 問題の内容

(1) 4種類の数字1, 2, 3, 4 を重複を許して並べて、3桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。

(2) 5人が1回じゃんけんをするとき、手の出し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 各桁に1, 2, 3, 4 のいずれかを入れることができるので、各桁の選択肢は4通り。3桁なので、4 x 4 x 4 を計算します。

$4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$

(2) 5人それぞれがグー、チョキ、パーのいずれかを出せるので、各人の選択肢は3通り。5人なので、3 x 3 x 3 x 3 x 3 を計算します。

$3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 = 243$

3. 最終的な答え

(1) 64個

(2) 243通り