互いに異なる6個の薬品を3つのグループに分ける方法の数を、以下の3つの場合にそれぞれ求める問題です。 (1) 1個、2個、3個のグループに分ける場合 (2) 1個、1個、4個のグループに分ける場合 (3) 2個、2個、2個のグループに分ける場合

1. 問題の内容

互いに異なる6個の薬品を3つのグループに分ける方法の数を、以下の3つの場合にそれぞれ求める問題です。

(1) 1個、2個、3個のグループに分ける場合

(2) 1個、1個、4個のグループに分ける場合

(3) 2個、2個、2個のグループに分ける場合

2. 解き方の手順

(1) 1個、2個、3個のグループに分ける場合

まず、6個の薬品から1個選ぶ方法が$_{6}C_{1}$通りあります。

次に、残りの5個から2個選ぶ方法が$_{5}C_{2}$通りあります。

最後に、残りの3個は自動的に3個のグループになります。

したがって、求める場合の数は、

$_{6}C_{1} \times _{5}C_{2} \times _{3}C_{3} = \frac{6!}{1!5!} \times \frac{5!}{2!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = 6 \times 10 \times 1 = 60$通りです。

(2) 1個、1個、4個のグループに分ける場合

まず、6個の薬品から1個選ぶ方法が$_{6}C_{1}$通りあります。

次に、残りの5個から1個選ぶ方法が$_{5}C_{1}$通りあります。

最後に、残りの4個は自動的に4個のグループになります。

ただし、1個のグループが2つあるので、グループの区別をなくすために2!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_{6}C_{1} \times _{5}C_{1}}{2!} = \frac{\frac{6!}{1!5!} \times \frac{5!}{1!4!}}{2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通りです。

(3) 2個、2個、2個のグループに分ける場合

まず、6個の薬品から2個選ぶ方法が$_{6}C_{2}$通りあります。

次に、残りの4個から2個選ぶ方法が$_{4}C_{2}$通りあります。

最後に、残りの2個は自動的に2個のグループになります。

ただし、2個のグループが3つあるので、グループの区別をなくすために3!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}}{3!} = \frac{\frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{3!} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 15通り

(3) 15通り